Xét \(a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\)

\(=a^3\left(a+b\right)\left(a-b\right)-b^3\left(b-c\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b-b^4-ab^3\right)=\left(a+b\right)a^4+\left(a^4+2a^3b+b^2a^2-2a^2a^2-2ab^3-a^3b+a^2a^2-2ab^3+b^4\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đpcm)

P/S cchs hơi chậm nhưng dừng chửi nhá

ta có:

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)+b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

Xét thấy:

\(a+b\ge0\)

\(\left(a^2-b^2\right)\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)

\(a^2-ab+b^2\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)

Vậy nên ...................

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)

\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)

\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)

Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh

\(a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\ge5\sqrt[5]{a^{20}b^5}=5a^4b\)

\(b^5+b^5+b^5+b^5+c^5\ge5\sqrt[5]{b^{20}c^5}=5b^4c\)

\(c^5+c^5+c^5+c^5+a^5\ge5\sqrt[5]{c^{20}a^5}=5c^4a\)

Cộng lại ta được:\(5\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge5\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)\)

=> đpcm

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\a+b\ge0\left(gt\right)\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(1\right)\) đúng

Chứng minh cái gì cơ :v

Đề thiếu:)

Ta có :

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\Leftrightarrow a^5+b^5-a^2b^3\ge0\\ \Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\) 

Vì :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\) với mọi \(a,b\in R\) 

\(a+b\ge0\left(theo.giả.thiết\right)\\ a^2+b^2+ab\ge0\) 

( với mọi \(a,b\in R\) )

Nên bất đẳng thức cuối đúng. Vậy 

\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\) với \(a+b\ge0\left(đpcm\right)\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)

cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!

Bạn có thể tham khảo: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/236870.html
Thông tin đến bạn!

2,

a, Nếu 2a + 4 \(\ge\) 2b + 4

thì 2a \(\ge\) 2b hay a \(\ge\) b

b, Nếu 3a - 5 \(\le\) 3b - 5

thì 3a \(\le\) 3b hay a \(\le\) b

3,

a, Nếu a \(\le\) b thì a - b \(\le\) 0 hay 2019(a - b) \(\le\) 0 hay 2019a \(\le\) 2019b hay 2019a + 2020 \(\le\) 2019b + 2020

b, Nếu a \(\le\) b thì -a \(\ge\) -b hay -42a \(\ge\) -42b hay -42a - 24 \(\ge\) -42b - 24

3,

a, Nếu a > b thì 3a > 3b hay 3a + 2 > 3b + 2

b, Nếu a > b thì -a < -b hay -4a < -4b hay -4a - 5 < -4b - 5

Chúc bn học tốt!!

a) Sai với \(a=1,b=2\)

b)

Thực hiện biến đổi tương đương:

\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)

2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)