\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\a+b\ge0\left(gt\right)\\a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(1\right)\) đúng
Ta có :
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\Leftrightarrow a^5+b^5-a^2b^3\ge0\\ \Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)
Vì :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\) với mọi \(a,b\in R\)
\(a+b\ge0\left(theo.giả.thiết\right)\\ a^2+b^2+ab\ge0\)
( với mọi \(a,b\in R\) )
Nên bất đẳng thức cuối đúng. Vậy
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\) với \(a+b\ge0\left(đpcm\right)\)
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\left(a+b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^5+b^5\right)-a^2b^2\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)-a^2\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-a^2\right)\ge0\)
Vì \(a+b\ge0\) (giả thiết)
\(\Rightarrow a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-a^2\ge0\)
Suy ra điều phải chứng minh.
