Cho \(f\left(x\right)=x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1\) (x à biến số, m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức \(f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^2\) đúng với mọi số thực x; trong đó a, b là các hằng số.
Cho biểu thức $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 2m-10 \right)x-1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để ${f}'\left( x \right)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$.
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(g\left(x\right)=4mx^2-4\left(m-1\right)x+m-3\) luôn luôn âm với mọi x thuộc R
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+2\right)x-2m^2+3m+4\) không âm với mọi m thuộc R
c) Bất pt \(x^2+2mx+m^2-5m+6>0\) ( m là tham số thực) có nghiệm với mọi x thuộc R khi \(m\in\left(-\infty;\dfrac{a}{b}\right)\) với \(a,b\in Z\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức a+2b
Cho hàm số ( ) ( )2 2 1 2 1f x x m x m= − − − + − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) 0f x >Cho hàm số \(f\left(x\right)=-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\).
, ( )Cho hàm số ( ) ( )2 2 1 2 1f x x m x m= − − − + − . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) 0f x >, ( )
Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)
Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)
a) Tam thức \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)+m^2-3m+4\) không âm với mọi giá trị x
b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để mọi x thuộc R biểu thức \(f\left(x\right)=x^2+\left(m+2\right)x+8m+1\) luôn nhận giá trị dương
c) Tìm tất cả các giá trị m để biểu thức \(f\left(x\right)=x^2+\left(m+1\right)x+2m+7>0\forall x\in R\)
Cho các hàm số \(f\left(x\right)=x^2-4x+m\) và \(g\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)^2\left(x^2+3\right)^3\) . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) .
\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow x=0\)
Ta thấy \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến khi \(f\left(x\right)\ge0\)
\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) khi \(f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x>3\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x\ge-m\) ; \(\forall x>3\)
\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>3}\left(x^2-4x\right)\)
\(\Rightarrow-m\le-3\Rightarrow m\ge3\)
Bài 1: Tìm m để \(f\left(x\right)=mx^2-2\left(m-1\right)x+4m\) luôn luôn âm.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\)nghiệm đúng với mọi \(x\in R\)
Bài 3: Cho hàm số \(f\left(x\right)=-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)
1.
Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn
Nếu \(x\ne0\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)
2.
\(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2-4}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+1>0\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)
Kết luận: \(-2< m< 2\)
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho pt \(\left(m-1\right)^2-2\left(m+3\right)-m+2=0\) có nghiệm
b) Các giá trị m để tam thức \(f\left(x\right)=x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\) đổi dấu 2 lần
c) Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-bx+3\). Với giá trị nào của b thì tam thức f(x) có nghiệm?
Cho hàm số f(x) = \(\dfrac{x+m}{x+1}\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(max_{[0;1]}\left|f\left(x\right)\right|\) + \(min_{[0;1]}\left|f\left(x\right)\right|\) =2. Số phần tử của S là?
Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x+m}{x+1}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x+m\right)'\left(x+1\right)-\left(x+m\right)\left(x+1\right)'}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1-m}{\left(x-1\right)^2}\)
Cho \(f'\left(x\right)=\dfrac{1-m}{\left(x-1\right)^2}=0\Leftrightarrow m=1\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x+1}=1\)
\(\Rightarrow max_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+min_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=1+1=2\) ( thỏa mãn )
Vậy \(m=1\) thỏa mãn bài toán.
Xét \(m\ne1\), ta thấy \(f\left(x\right)\) đơn điệu trên \(\left[0;1\right]\), xét các trường hợp:
*) \(f\left(0\right).f\left(1\right)\le0\Leftrightarrow\dfrac{m+1}{2}\cdot m\le0\) \(\Leftrightarrow-1\le m\le0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}min_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=0\\max_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=max\left\{\dfrac{\left|m+1\right|}{2};\left|m\right|\right\}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(max_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+min_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=2\)
\(\Leftrightarrow0+\dfrac{\left|\dfrac{m+1}{2}+m\right|+\left|\dfrac{m+1}{2}-m\right|}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{3m+1}{2}\right|+\left|\dfrac{-m+1}{2}\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left|3m+1\right|+\left|m-1\right|=8\) (1)
Xét các trường hợp:
+) \(m\le\dfrac{-1}{3}\) : \(\left(1\right)\Leftrightarrow-3m-1-m+1=8\Leftrightarrow m=-2\) ( loại )
+) \(m\ge1\) : \(\left(1\right)\Leftrightarrow3m+1+m-1=8\Leftrightarrow m=2\) ( loại )
+) \(-\dfrac{1}{3}< m< 1\) : \(\left(1\right)\Leftrightarrow3m+1-m+1=8\Leftrightarrow m=3\) ( loại )
*) \(f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)>0\Leftrightarrow\dfrac{m+1}{2}\cdot m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}min_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=min\left\{\dfrac{\left|m+1\right|}{2};\left|m\right|\right\}\\max_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=max\left\{\dfrac{\left|m+1\right|}{2};\left|m\right|\right\}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(min_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+max_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|\left|\dfrac{m+1}{2}+m\right|-\left|\dfrac{m+1}{2}-m\right|\right|}{2}+\dfrac{\left|\left|\dfrac{m+1}{2}+m\right|\right|+\left|\left|\dfrac{m+1}{2}-m\right|\right|}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|\left|3m+1\right|-\left|m-1\right|\right|}{4}+\dfrac{\left|\left|3m+1\right|+\left|m-1\right|\right|}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left|3m+1\right|}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|3m+1\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{-5}{3}\end{matrix}\right.\)
Tóm lại ở cả 2 trường hợp thì ta có \(m\in\left\{1;\dfrac{-5}{3}\right\}\) thỏa mãn đề bài.
Vậy \(S=\left\{1;\dfrac{-5}{3}\right\}\) có \(2\) phần tử.
Cho hàm số f(x)=\(\dfrac{x+m}{x+1}\)( m là tham số thực) gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho \(\min\limits_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\max\limits_{\left[0;1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=2\). Số phần tử của A là
A.6
B.2
C.1
D.4
Bạn tham khảo ạ!
Còn nếu chưa hiểu cách làm thì bạn có thể hỏi anh Lâm hoặc chính người làm bài này :)
Lời giải:
Nếu $m=1$ thì hàm $f(x)=1$ là hàm hằng thì không có cực trị.
Nếu $m\neq 1$;
$f'(x)=\frac{1-m}{(x+1)^2}$. $m>1$ thì hàm nghịch biến trên $[0;1]$, mà $m< 1$ thì hàm số đồng biến trên $[0;1]$
Từ đó suy ra hàm số đạt cực trị tại biên, tức là $(f_{\min}, f_{\max})=(f(1),f(0))=(m, \frac{m+1}{2})$ và hoán vị.
Giờ ta đi giải PT:
$|m|+|\frac{m+1}{2}|=2$
Dễ dàng giải ra $m=1$ hoặc $m=\frac{-5}{3}$
Do đó đáp án là B.