CM bất đẳng thức sau
\(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\le\sqrt{8\left(x+y\right)}\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh giúp mình mấy câu bất đẳng thức này nhaa) frac{2sqrt{ab}}{sqrt{a}+sqrt{b}}lesqrt[4]{ab}left(a,b0right)b) left(sqrt{a}+sqrt{b}right)^8ge64ableft(a+bright)^2left(a,b0right)c) yleft(frac{1}{x}+frac{1}{x}right)+frac{1}{y}left(x+zright)leleft(frac{1}{x}+frac{1}{z}right)left(x+zright)left(0 xle yle zright)d) a+b+cge3left(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right)left(a,b,c0;a+b+cabcright)
Đọc tiếp
Chứng minh giúp mình mấy câu bất đẳng thức này nha
a) \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\left(a,b>0\right)\)
b) \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\left(a,b>0\right)\)
c) \(y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{y}\left(x+z\right)\le\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\left(x+z\right)\left(0< x\le y\le z\right)\)
d) \(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a,b,c>0;a+b+c=abc\right)\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\sqrt{y}+\left(y-1\right)\sqrt{x}=2\sqrt{xy}\\x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x}-1=xy\end{matrix}\right.\)
giải kiểu bất đẳng thức ạ . thanks
giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức côsi
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\\\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)^3\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
ĐK: $x,y,z\geq 0$
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+1}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}}\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3\)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Thay vào pt $(1)$ thì suy ra $x=y=z=1$
Đúng 3
Bình luận (0)
Chứng minh với mọi x, y \(\in R\), bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Giải các bất phương trình sau:
1) \(x^3+\left(3x^2-4x-4\right)\sqrt{x+1}\le0\)
2) \(\sqrt{2x^2-6x+8}-\sqrt{x}\le x-2\)
3) \(4\left(x+1\right)^2< \left(2x+10\right)\left(1-\sqrt{3+2x}\right)\)
4) \(4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x+3}\le\left(x-1\right)\left(x^2-2\right)\)
1 chứng minh các đẳng thức sau
a, \(\dfrac{a+b}{b^2}\sqrt{\dfrac{a^2b^4}{a^22ab+b^2}}=\left|a\right|\)
b, \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\)
c,\(\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\dfrac{\sqrt{xy}}{x-y}=4\)
a) Sai đề.
\(\dfrac{a+b}{b^2}\sqrt[]{\dfrac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}=\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{b^2\left|a\right|}{\left|a+b\right|}=\left|a\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
b) Sai đề.
\(\dfrac{a\sqrt[]{b}+b\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}}=\dfrac{\sqrt[]{ab}\left(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}\right)}{\sqrt[]{ab}}.\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}\right)=a-b\)
Đúng 0
Bình luận (0)
c) \(\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt[]{y}}{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}}-\dfrac{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}\right):\dfrac{\sqrt[]{xy}}{x-y}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}\right)^2-\left(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}\right)^2}{\left(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}\right)\left(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}\right)}.\dfrac{x-y}{\sqrt[]{xy}}=\dfrac{4\sqrt[]{xy}}{x-y}.\dfrac{x-y}{\sqrt[]{xy}}=4\)
Đúng 0
Bình luận (0)
3 tháng 8 2021 lúc 21:13
Cho mình hỏi cách tách x và y thành hằng đẳng thức một cách hiệu quả nhất với
vd: \(\sqrt{19-8\sqrt{3}}=\sqrt{16-8\sqrt{3}+3}=\sqrt{\left(4-\sqrt{3}\right)^2}\)
Em kéo xuống trang 40, mục số 3:
Một số mẹo nhỏ với Casio.pdf - Google Drive
Đúng 2
Bình luận (3)
Giải bất phương trình: \(\sqrt[4]{\left(x-2\right).\left(4-x\right)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}\le x^3+30\)
chứng minh đẳng thức sau
\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)\times\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=x-y\)với x>0 và y>0
ta có:\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=x-y\)
vậy.....
\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(=x-y\)( đpcm )