chứng minh đẳng thức
a) cho \(x+y+z=0\) chứng minh rằng \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=0\)
b) \(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
c) \(a^3+b^3+c^3=3abc\) với a+b+c=0
Những câu hỏi liên quan
Bài 1: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(x+y\right)}>=\dfrac{3}{2}\)
Bài 2: Cho a, b c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+3c}{a+b}+\dfrac{c+3a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}>=6\)
2 tháng 2 2021 lúc 10:16
Cho \(x+y+z=0\)
Chứng minh rằng: \(a^5\left(b^2+c^2\right)+b^5\left(a^2+c^3\right)+c^5\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Đề hay thật sự, cho x,y,z nhưng chứng minh a,b,c :v
Đúng 0
Bình luận (3)
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}
3. Cho c0 và a,bge c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a có \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{2z+x+y}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+2.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+y+z+x+2y+z+2z+x+y}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(=6.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{18}{4.\dfrac{3}{4}}-\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=9\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) ab+bc+ca\(\le\dfrac{\left(a+c+b\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3ab+3bc+3ac\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b,c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) 3.(ab+bc+ac)≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\ge0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
<=> (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0 ( luon dung voi moi a,b,c)
b) ap dung ket qua tren va vế sau bn xem bài giải của mk ở trên
Đúng 0
Bình luận (1)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}3. Cho c0 và a,b≥c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho c>0 và a,b≥c. Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ :a) x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3.b) bcleft(b+cright)+caleft(c-aright)-ableft(a+bright)c) a^2left(b-cright)+b^2left(c-aright)+c^2left(a-bright)d) a^6-a^4+2a^3+2a^2e) x^9-x^7-x^6-x^5+x^4+x^3+x^2-1f) left(x+y+zright)^3-x^3-y^3-z^3g) left(a+b+cright)^3-left(a+b-cright)^3-left(b+c-aright)^3-left(c+a-bright)^3h) x^3+y^3+z^3-3xyz
Đọc tiếp
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ :
a) \(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3.\)
b) \(bc\left(b+c\right)+ca\left(c-a\right)-ab\left(a+b\right)\)
c) \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)
d) \(a^6-a^4+2a^3+2a^2\)
e) \(x^9-x^7-x^6-x^5+x^4+x^3+x^2-1\)
f) \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
g) \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(c+a-b\right)^3\)
h) \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
a/ x3 + x2 z + y2 z - xyz + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2) + z(x2 - xy + y2)
= (x2 - xy + y2)(x + y + z)
Đúng 0
Bình luận (0)
c/ a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
= a2(b - c) + (b2 c - c2 b) + (c2 a - b2 a)
= (b - c)(a2 + bc - ab - ac)
= (b - c)[(a2 - ab) + (bc - ac)]
= (b - c)(a - b)(a - c)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1) Cho a^3+b^3+c^33abc và abc khác 0. Tính giá trị của Pleft(1+frac{a}{b}right)left(1+frac{b}{c}right)left(1+frac{c}{a}right)
2) Tính giá trị biểu thức A frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{left(a-bright)^2+left(b-cright)^2+left(c-aright)^2}
với a khác b, hoặc b khác c, hoặc c khác a
3) Tính giá trị biểu thức B frac{left(x^2-y^2right)^3+left(y^2-z^2right)^3+left(z^2-x^2right)^3}{left(x-yright)^3+left(y-zright)^3+left(z-xright)^3}
với x khác y, hoặc y khác z, hoặc z khác x
4) Tính giá trị biểu...
Đọc tiếp
1) Cho a^3+b^3+c^3=3abc và abc khác 0. Tính giá trị của P=\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
2) Tính giá trị biểu thức A= \(\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)
với a khác b, hoặc b khác c, hoặc c khác a
3) Tính giá trị biểu thức B= \(\frac{\left(x^2-y^2\right)^3+\left(y^2-z^2\right)^3+\left(z^2-x^2\right)^3}{\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3}\)
với x khác y, hoặc y khác z, hoặc z khác x
4) Tính giá trị biểu thức C= \(\frac{\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3}{3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
với x khác y; y khác z; z khác x
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :frac{a}{b+c}+frac{b}{a+c}+frac{c}{a+b}22. Chứng minh rằng : x5 + y5 ≥ x4y + xy4 với x, y ≠ 0 và x + y ≥ 03. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa nãm đẳng thức : frac{a+b-c}{c}frac{a+c-b}{b}frac{c+b-a}{c}Tính : Pfrac{left(a+bright)left(b+cright)left(a+cright)}{abc}4. Cho a + b + c 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 3abc.
Đọc tiếp
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)<2
2. Chứng minh rằng : x5 + y5 ≥ x4y + xy4 với x, y ≠ 0 và x + y ≥ 0
3. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa nãm đẳng thức : \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{c+b-a}{c}\)
Tính : \(P=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}\)
4. Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc.