cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 . Tìm GTNN của P = \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)

a,b,c dương chứng minh : \(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Tìm GTNN của y= \(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+3x+10}\)

Giải phương trình: \(\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5\)

Giải hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x=y^3-5y^2+8y-3\\y=-2x^3+10x^2-16x+9\end{matrix}\right.\)

Xác định m dể hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=m\\mx-9y=m+6\end{matrix}\right.\) có vô nghiệm , vô số nghiêm , 1 nghiệm duy nhất

cho x,y thỏa mãn \(3\left(x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9}\right)=xy\)

Tính \(p=\left(x-17\right)^{2018}+\left(y-19\right)^{^{ }2019}\)

Giải phương trình : \(\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\right)\left(1+\sqrt{x^2-x-2}\right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt{x}\ne0\\\sqrt{x}-1\ne0\\x+\sqrt{x}+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Với x>0;\(x\ne1\) ta có

\(p=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\) =

\(\dfrac{\sqrt{x}\left((\sqrt{x})^3-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

=\(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-1+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)

=\(x-\sqrt{x}+1\)

Vậy với x>0;x\(\ne1\) thì p=x-\(\sqrt{x}\) +1

b) Với \(x>0;x\ne1\)

Thì p đạt GTNN<=> x-\(\sqrt{x}\) +1 đạt GTNN

mà \(x-\sqrt{x}+1=x-\dfrac{1}{2}2\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

=> p đạt GTNN=\(\dfrac{3}{4}\) <=> \(\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\) (tm)

Vậy P đạt GTNN=\(\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)