Ta có : Q = x² - 2xy -12x +y² +12y + 36 + 5y² -10y + 5 + 1976

               = [ x² -2x(y + 6 ) + ( y + 6 )² ] + 5 (y² -2y +1 ) +1976

                = ( x- y - 6 )² + 5 (y-1)² + 1976

Vì ( x - y - 6)² \(\ge\)0 với mọi x ; y ;5 .(y-1)² \(\ge\)0 với mọi x ; y và 1976 > 0 

Nên biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi x ;y

Q=x2+6y2−2xy−12x+2y+2017

Q=(x2-2xy+y2)-(12x-12y)+36+(5y2-10y+5)+1976

=(x-y)2-12(x-y)+36+5(y2-2y+1)+1976

=[(x-y)2-12(x-y)+36]+5(y-1)2+1976

=(x-y-6)2+5(y-1)2+1976

do (x-y-6)2 ≥ 0 ∀ x,y

(y-1)2 ≥ 0 ∀ y

=> (x-y-6)2+5(y-1)2+1976 ≥ 1976

=> Q≥ 1976

=> MinA=1976 khi

y-1=0

=>y=1

x-y-6=0

=>x-1-6=0

=>x-7=0

=>x=7

Vậy GTNN của Q =1976 khi x=7 và y=1

a: \(x^2-5x+10\)

\(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\forall x\)

b: \(2x^2+8x+15\)

\(=2\left(x^2+4x+\dfrac{15}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+4x+4+\dfrac{7}{2}\right)\)

\(=2\left(x+2\right)^2+7>0\forall x\)

\(A=x^2+x+1=x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

\(A=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

A= x² + x + 1

A = x² + 2. \(\dfrac{1}{2}\). x + (\(\dfrac{1}{2}\))² +\(\dfrac{3}{4}\)

A = ( x + \(\dfrac{1}{2}\))² + \(\dfrac{3}{4}\) ≥ \(\dfrac{3}{4}\)

Vậy, x² + x + 1>0 với mọi x

Đúng thì like giúp mik nha. Thx bạn

         \(x^2+x+1\)

\(=\)   \(x^2+2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\)    \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\)    \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\)

\(=\)     \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\) luôn dương với mọi \(x\)     ( 1 )

mà cộng thêm 1 lượng \(\dfrac{3}{4}\)  luôn dương   ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ):     ⇒    \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\) luôn dương

⇒   \(x^2+x+1\) luôn dương với mọi giá trị của x

Ta có: \(x^2-y+\frac{1}{4}=y^2-x+\frac{1}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Rightarrow}x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)

\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)

\(=-6x^2-9\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)

hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).

\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)

\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)

\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)

\(=4x^2+1\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)

hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).

#\(Toru\)

lập phương hay chính phương thế bạn???

nếu là chính phương thì ntn nha 

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

đặt \(t=n^2+3n\left(t\in Z^+\right)\)

phương trình thành:
\(t\left(t+2\right)=t^2+2t\)

vì \(t^2< t^2+2t< t^2+2t+1\)

hay \(t^2< t^2+2t< \left(t+1\right)^2\)

=> \(t^2+2t\) không thể là số chính phương

=>\(n\left(n+2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số chính phương

cô ơi, cô là người hay cô là chó vậy ạ ?, bài tập thầy con soạn bao nhiêu công sức cô ăn cắp như con chó không thèm ghi nguồn rồi đăng lên đây, thầy con đã nói rồi mà cô vẫn cố tình nhai đi nhai lại mấy tháng nay, bẩn không bằng con chó cô ạ, cô làm như vậy là báo hại đến học sinh bọn con thôi ạ, cô làm ơn bỏ cái trò đó đi ạ

Đặt \(N=n^4+4n^3+7n^2+6n+3=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)\)

Do \(n\) và \(n+1\) luôn khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow n^2\) và \(n+1\) khác tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow n^2+n+1\) luôn lẻ

Gọi \(d=ƯC\left(n^2+n+1;n^2+3n+3\right)\) \(\Rightarrow d\) lẻ

\(\Rightarrow n^2+3n+3-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2⋮d\Rightarrow\left(n+1\right)^2-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n⋮d\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau

Giả sử tồn tại m nguyên dương thỏa mãn: \(\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)=m^3\)

Hiển nhiên \(m>1\), do \(n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau, đồng thời \(n^2+3n+3>n^2+n+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+3n+3=m^3\end{matrix}\right.\)

Từ \(n^2+n+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-1\\n=0\end{matrix}\right.\) đều ko thỏa mãn n nguyên dương

Vậy N luôn luôn ko là lập phương

Điều kiện x ≠ 1 và x  ≠  - 1

Ta có:

Biểu thức dương khi x 2 + 2 x + 3 > 0

Ta có:  x 2 + 2 x + 3  =  x 2 + 2 x + 1 + 2  = x + 1 2 + 2 > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị x  ≠  1 và x  ≠  - 1

\(x^4+2x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\ge1>0\forall x\) ( đpcm ) 

`x^4+2x^2+1`

`=(x^2)^2 + 2.x^2 .1 + 1^2`

`=(x^2+1)^2 > 0 forall x`.

x⁴+2x²+1 =(x²+1)² mà (x²+1)² ≥ 0 vs mọi x