Để chứng minh 1) AE = AN, ta sẽ sử dụng định lí hai đường trung bình của tam giác.Theo định lí hai đường trung bình, AM là đường trung bình của tam giác ABC.Vì vậy, ta có AM = 1/2(AB + AC).Đồng thời, ta cũng có AN là đường trung bình của tam giác ADC.Từ đó, ta có AN = 1/2(AD + AC).Do đó, để chứng minh AE = AN, ta cần chứng minh AE = 1/2(AB + AD).Ta biết rằng AE là đường cao của tam giác ABC với cạnh AB.Vì vậy, ta có AE = √(AB^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ABC)Tương tự, ta biết rằng AN là đường cao của tam giác ADC với cạnh AD.Vì vậy, ta cũng có AN = √(AD^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ADC)

Sửa đề: Cắt CD tại E

1: Sửa đề: Chứng minh AE=AM

góc BAM+góc DAM=90 độ

góc DAM+góc EAD=90 độ

=>góc BAM=góc EAD

Xét ΔBAM vuông tại B và ΔDAE vuông tại D có

AB=AD

góc BAM=góc DAE

=>ΔBAM=ΔDAE
=>AM=AE

2: 1/AM^2+1/AN^2

=1/AE^2+1/AN^2

ΔAEN vuông tại A có AD là đường cao

nên 1/AE^2+1/AN^2=1/AD^2=1/AB^2

=>1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2

a: Xét ΔABM vuông tại B và ΔADN vuông tại D có

AB=AD

góc BAM=góc DAN

=>ΔABM=ΔADN

=>AM=AN

=>ΔAMN vuông cân tại A

b: 1/AM^2+1/AE^2

=1/AN^2+1/AE^2

=1/AD^2 ko đổi

a,\(\Delta ABM\infty\Delta NDA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{ND}=\frac{BM}{DA}\Rightarrow AB^2=BM.DN\) (vì AB = AD)

b, Ta có: \(\frac{NM}{NA}=\frac{MC}{AD}\Rightarrow\frac{AD}{AN}=\frac{MC}{MN}\)

\(\frac{CN}{AB}=\frac{MN}{AM}\Rightarrow\frac{CN}{AD}=\frac{MN}{AM}\Rightarrow\frac{AD}{AM}=\frac{CN}{MN}\)

Vậy \(\left(\frac{AD}{AM}\right)^2+\left(\frac{AD}{AN}\right)^2=\left(\frac{CN}{MN}\right)^2+\left(\frac{MC}{MN}\right)^2=\frac{MC^2+CN^2}{MN^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)

a: Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên AM/MN=BN/NC

=>AM/AD=BN/BC(1)

Xét ΔADC có MO//DC

nên MO/DC=AM/AB(2)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MO=ON(đpcm)

b:

Để \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\) thì \(\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{CD}=2\)

MN=2ON=2OM

\(\dfrac{2OM}{AB}+\dfrac{2ON}{CD}=2\left(\dfrac{OM}{AB}+\dfrac{ON}{CD}\right)\)

mà OM/AB=DO/DB

và ON/CD=BO/BD

nên \(VT=2\cdot\left(\dfrac{DO}{DB}+\dfrac{BO}{DB}\right)=2\left(đpcm\right)\)

b: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AP cắt BC tại N

Xét ΔABN và ΔADP có

góc B=góc D=90 độ

góc BAN=góc DAP

=>ΔABN đồng dạng với ΔADP

=>AB/AD=AN/AP=1/3

=>AN=1/3AP

ΔANM vuông tại N có AB là đường cao

nen 1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2=1/AM^2+9/AP^2