Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:

\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)

\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)

Do đó:

\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)

\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)

Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m

Sửa lại đề \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\) (cái này có trong CHTT rồi nhé nhưng giờ bỗng dưng rảnh làm lại luôn đỡ mất công tìm)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VP^2=\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{a\cdot a'}+\sqrt{b\cdot b'}+\sqrt{c\cdot c'}\right)=VT^2\)

Tức là \(VP\ge VT\)

Xảy ra khi \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\)

có thiếu ĐK nào k bạn ?

áp dụng BĐT cauchy :

\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)

việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))

dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)

1. Câu hỏi của Trần Huỳnh Thanh Long - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

b: \(A=\dfrac{x^2+4+1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}>=2\sqrt{\sqrt{x^2+4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}}=2\)

a: =>ab+ad+bc+cd>=ab+cd+2căn abcd

=>ad+cb-2căn abcd>=0

=>(căn ad-căn cb)^2>=0(luôn đúng)

Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\)\(\left(k>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a=Ak;b=Bk;c=Ck;d=Dk\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=A\sqrt{k}+B\sqrt{k}+C\sqrt{k}+D\sqrt{k}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)

\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(Ak+Bk+Ck+Dk\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\)

=> đpcm 

sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)

theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)

ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

gt thiếu kìa. 

Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\left(k>0\right)\)

\(\Rightarrow a=Ak,b=Bk,c=Ck,d=Dk\)

Ta có: 

* \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}\)

\(=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\left(A+B+C+D\right).\sqrt{k}\left(1\right)\)

* \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

\(=\sqrt{k.\left(A+B+C+D\right)^2}\)

\(=\sqrt{k}.\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

(Chúc bạn học tốt và k cho mình với nhé!)