a: ĐKXĐ: \(n\ne1\)

\(\dfrac{5}{3n-1}\in Z\Rightarrow3n-1=Ư\left(5\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3n-1=-5\\3n-1=-1\\3n-1=1\\3n-1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-\dfrac{4}{3}\left(ktm\right)\\n=0\\n=\dfrac{2}{3}\left(ktm\right)\\n=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=\left\{0;2\right\}\)

Lời giải:

a. $P=\frac{n-2}{n+5}=1-\frac{7}{n+5}$

Để $P$ nguyên thì $\frac{7}{n+5}$ nguyên. 

$\Rightarrow n+5$ là ước của $7$

$\Rightarrow n+5\in\left\{\pm 1; \pm 7\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-4; -6; 2; -12\right\}$

b. 

Để phân số $P$ rút gọn được thì $n-2, n+5$ không nguyên tố cùng nhau. 

Gọi $ƯCLN(n-2, n+5)=d$ thì $n-2\vdots d; n+5\vdots d$

$\Rightarrow 7\vdots d$

Để $n-2, n+5$ không nguyên tố cùng nhau thì $d=7$

$\Rightarrow n-2\vdots 7$

$\Rightarrow n-2=7k$ với $k$ nguyên 

$\Rightarrow n=7k+2$ với $k$ là số nguyên bất kỳ.

Để M=n−1/n−2 là phân số tối giản thì ƯCLN (n – 1, n -2) = 1.

Gọi ƯCLN (n - l, n  - 2) = d => n – 1 ⋮d; n – 2 ⋮d

=> ( n – 1) – ( n – 2) d => 1⋮d => d = 1 với mọi n. Vậy với mọi n ∈ℤ thì M=n−1/n−2  là phân số tối giản.

\(a)\,\,A=\dfrac{13}{21} \Leftrightarrow \dfrac{2n+3}{4n+1}=\dfrac{13}{21} \\ \Leftrightarrow 21(2n+3)=13(4n+1)\\\Leftrightarrow 42n+63=52n+13\\\Leftrightarrow 42n-52n=13-63 \\\Leftrightarrow -10n=-50\\\Leftrightarrow n=(-50):(-10)\\\Leftrightarrow n=5\)

a, Để A là phân số khi n - 3 \(\ne\)0<=> n \(\ne\)3

b, Để A nguyên khi \(n+1⋮n-3\Leftrightarrow n-3+4⋮n-3\Leftrightarrow4⋮n-3\)

\(\Rightarrow n-3\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

a) Để A là phân số thì \(n-3\ne0\)

hay \(n\ne3\)

b) Để A là số nguyên thì \(n+1⋮n-3\)

\(\Leftrightarrow4⋮n-3\)

\(\Leftrightarrow n-3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

hay \(n\in\left\{4;2;5;1;7;-1\right\}\)

\(A=\dfrac{n+1}{n-3}=\dfrac{n-3+4}{n-3}=\dfrac{n-3}{n-3}+\dfrac{4}{n-3}=1+\dfrac{4}{n-3}\)

Để A là p/s tối giản thì \(\dfrac{4}{n-3}\) phải là p/s tối giản

\(=>n-3\) là số lẻ \(\Leftrightarrow n\) là số chẵn

Vậy \(n=2k\left(k\in Z\right)\)

a) \(\dfrac{n+2}{3}\) là số tự nhiên khi

\(n+2⋮3\)

\(\Rightarrow n+2\in\left\{1;3\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-1;1\right\}\left(n\in Z\right)\)

b)  \(\dfrac{7}{n-1}\) là số tự nhiên khi

\(7⋮n-1\)

\(\Rightarrow7n-7\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow7n-7n+7⋮n-1\)

\(\Rightarrow7⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\Rightarrow\Rightarrow n\in\left\{2;8\right\}\left(n\in Z\right)\)

c) \(\dfrac{n+1}{n-1}\) là sô tự nhiên khi

\(n+1⋮n-1\)

\(\Rightarrow n+1-\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow n+1-n+1⋮n-1\)

\(\Rightarrow2⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{1;2\right\}\Rightarrow n\in\left\{2;3\right\}\left(n\in Z\right)\)