sử dụng phương pháp quy nạp

*với n=1 thì 2 chia hết cho2 

*với n=2 thì 3*4=12 chia hết cho 4

thử đúng đến n=k cần cm n=k+ 

ta có (k+1)(k+2)(k+3).....(k+k-1)(k+k)chia hết cho 2^k

n=k+1 biểu thức có dạng (k+1+1)(k+1+2)....(k+1+k)(k+1+k+1)

=2(k+1)(k+2)(k+3)....(k+k-1)(k+k)(k+k+1)chia hết cho2^k*2=2^k+1

thiếu số 1 ở chỗ cm đúng với n=k+1

khó thế

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

cái này dễ hiểu hơn

5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) chia hết cho 91
A = 5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) = + 5^n – 18^n – 12^n
= 25^n – 18^n – (12^n – 5^n)
Ta có: 25 – 18 chia hết cho 7
Nên 25 đồng dư với 18 khi chia cho 7
Hay 25^n đồng dư với 18^n khi chia cho 7
Suy ra 25^n – 18^n chia hết cho 7
Chứng minh tương tự thì 12^n – 5^n chia hết cho 7
Nên A chia hết cho 7
Mặt khác A = 25^n – 12^n – (18^n – 5^n)
với 25^n – 12^n và 18^n – 5^n đều chia hết cho 13
Suy ra A chia hết cho 13
Vậy A chia hết cho 7.13 = 91

Lời giải:

a) Phản chứng. Giả sử tồn tại \( n\in\mathbb{N}|n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Rightarrow n^2+7n-40\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4+11n-44\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4=(n-2)^2\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n-2\vdots 11\) (vì \(11\in\mathbb{P}\) )

Do đó, đặt \(n=11k+2\)

Ta có, \(n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow (11k+2)^2+7(11k+2)-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 121k^2+121k-22\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 22\vdots 121\) (vô lý)

Do đó, điểu giả sử là sai, nghĩa là không tồn tại bất kỳ số tự nhiên nào thỏa mãn \(n^2+7n-40\vdots 121\)

Hay \(n^2+7n-40\not\vdots 121\) (đpcm)

Lời giải:

b) Giả sử phản chứng, nghĩa là

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

Thực hiện khai triển bằng hằng đẳng thức, ta có:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\)

\(=5a^2+20a+30\)

Khi đó:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow 5a^2+20a+30\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a+6\vdots 5\)

Xét \(a\equiv 0\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 1+4+6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 2\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 18\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 3\pmod {5}\rightarrow a^2+4a+6=27\not\equiv 0\pmod {5}\)

Xét \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2+4a+6\equiv 38\not\equiv 0\pmod 5\)

Do đo, \(a^2+4a+6\not\vdots 5\), nghĩa là điều giả sử là sai. Ta có đpcm.

Chọn C

Chọn C