Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) (do x+y+z=2) 

Vậy ....

Áp dụng bđt Cô-si vào các số x,y,z dương:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot\dfrac{y+z}{4}}=x\) 

Chứng minh tương tự :\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y\) , \(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=1\) 

Dấu bằng xảy ra của cả 2 cách là x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Mik đã viết ra cả 2 cách nên bạn thấy cách nào dễ hiểu  thì làm cách đó

Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.

1.

Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$. 

Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$

$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$

$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng kết quả của bài 1:

Mẫu:

$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$

Tử: 

Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)

Bài 3:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)

Do đó:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có đpcm.

Ta có: \(2x^3+2y^3-\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{y^3+z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{y+z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{z+x}{2}\)

Cộng vế: \(P\ge x+y+z\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\right)^2\)

Cần chứng minh \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\)

Dễ thấy;\(VT=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)

BĐT được chứng minh

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}\)

\(=1+\frac{z^2}{x^2+y^2}+1+\frac{x^2}{y^2+z^2}+1+\frac{y^2}{z^2+x^2}\)

\(\le3+\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)\(=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)

do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Áp dụng Bđt Cosi

\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Ta có:

\(\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{2}{\frac{1}{3}}+\frac{8}{\left(x+y+z\right)^2}\ge14\) (Đpcm)

Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Hình như có 2 TH nhỉ?

nhìn qua là bt sai đề xy+yz+zx ms đúng