đây là bđt bunhiacopski đấy, sẽ là

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^{2^2}+b^{2^2}+c^{2^2}\right)\)

\(\Rightarrow n=1^2+1^2+1^2=3\)

khó

Ta có:\(\left|a\right|>0\)

\(\Leftrightarrow a^2>0\)

\(\Leftrightarrow-a^2< 0\)

\(\Leftrightarrow n^2-a^2< n^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2-a^2}< \sqrt{n^2}\)(\(n\ge a\Leftrightarrow n^2\ge a^2\Leftrightarrow n^2-a^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2-a^2}< n\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+a\right)+\left(n-a\right)+2\sqrt{\left(n+a\right)\left(n-a\right)}< 2n+n+a+n-a\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< 4n\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)

Cách khác:

Với x,y \(\ge\)0 luôn có: \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (1)

Thật vậy (1) <=> \(x^2+y^2+2xy\le2\left(x^2+y^2\right)\)

<=>\(0\le x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y\(\ge0\)

Do \(0\le\left|a\right|\le n\) => \(n-a\ge0\) ( khi cả a âm hay a dương)

Áp dụng bđt (1) có: \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\le\sqrt{2\left(n+a+n-a\right)}\)=\(\sqrt{2.2n}=2\sqrt{n}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(n+a=n-a\) <=> 2a=0 <=> a=0( không thỏa mãn đk)

=> Dấu "=" không xảy ra

Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)

P/s : không phải lúc nào cũng có thể làm giống NK hoặc cách mình nên bạn hãy tham khảo

Đặt \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1-a^2}=x\Rightarrow\sqrt{2}\le x\le2\)

\(x^2=2+2\sqrt{1-a^4}\Rightarrow\sqrt{1-a^4}=\dfrac{x^2-2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{2}+\left(b+1\right)x+b-4\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2\left(b+1\right)x+2b-10\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2x-10\le-2b\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow-2b\ge\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

\(\Rightarrow-2b\ge\max\limits_{\left[\sqrt{2};2\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

Xét trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\) ta có:

\(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+6x-30}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{3x^2+8x-28-2\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(3x+14\right)\left(x-2\right)}{3\left(x+1\right)}-\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow-2b\ge-\dfrac{2}{3}\Rightarrow b\le\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(b_{max}=\dfrac{1}{3}\)

1. Bạn chứng minh bằng pp quy nạp.