Cho 3 số \(a,b,c\) sao cho \(abc=1\)
Tính \(S=\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ac}\)
tính giá trị của biểu thức
cho \(abc=1\) , tính \(A=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(A=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(A=\dfrac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\dfrac{b}{bc+b+abc}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(A=\dfrac{a^2bc}{ab\left(1+ac+c\right)}+\dfrac{b}{b\left(c+1+ac\right)}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(A=\dfrac{ac+1+c}{ac+c+1}\)
\(A=1\)
\(A=\dfrac{ab}{ab+a+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}+\dfrac{ca}{ca+c+1}\)
\(A=\dfrac{abc}{abc+ac+c}+\dfrac{bc}{bc+b+abc}+\dfrac{ca}{ca+c+1}\)
\(A=\dfrac{1}{1+ac+c}+\dfrac{c}{c+1+ac}+\dfrac{ca}{ca+c+1}\)
\(A=1\)
Cho abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
Q = \(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
Lười đánh máy thật sự, buốt tay lắm:((
Ta có: \(Q=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(Q=\dfrac{ac}{c\left(ab+a+1\right)}+\dfrac{abc}{ac\left(bc+b+1\right)}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(Q=\dfrac{ac}{abc+ac+c}+\dfrac{abc}{abc^2+abc+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(Q=\dfrac{ac}{1+ac+c}+\dfrac{1}{c+a+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(Q=\dfrac{ac+1+c}{1+ac+c}=1\)
Vậy Q=1
Q=ab+a+1a+bc+b+1b+ac+c+1c
Q=\dfrac{ac}{c\left(ab+a+1\right)}+\dfrac{abc}{ac\left(bc+b+1\right)}+\dfrac{c}{ac+c+1}Q=c(ab+a+1)ac+ac(bc+b+1)abc+ac+c+1c
Q=\dfrac{ac}{abc+ac+c}+\dfrac{abc}{abc^2+abc+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}Q=abc+ac+cac+abc2+abc+acabc+ac+c+1c
Q=\dfrac{ac}{1+ac+c}+\dfrac{1}{c+a+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}Q=1+ac+cac+c+a+ac1+ac+c+1c
Q=\dfrac{ac+1+c}{1+ac+c}=1Q=1+ac+cac+1+c=1
chúc bạn thi tốt
cho tam giác ABC không cân, BD và CE là hai đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho: ID=IE
a) Tính góc BAC
b) chứng minh: \(\dfrac{3}{AB+BC+CA}=\dfrac{1}{AB+BC}+\dfrac{1}{BC+AC}\)
bài 1 : cho a, b, c>0 thỏa mãn a2+b2+c2=3
chứng minh rằng \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}>=\dfrac{3}{2}\)
bài 2 : cho a, b, c>0. chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}>=\dfrac{1}{2}\)
bài 3 : cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=abc
tìm GTLN của \(S=\dfrac{1}{3a+2b+c}+\dfrac{1}{3b+2c+a}+\dfrac{1}{3c+2a+b}\)
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Cho: a.b.c = 1. Tính: \(S=\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ac}\)
\(s=\frac{bc}{bc\left(1+a+ab\right)}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{b\left(1+c+ac\right)}=>\) \(s=\frac{bc}{bc+abc+ab^2c}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{b+bc+abc}\)=>
\(s=\frac{bc}{1+b+bc}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{1+b+bc}\)=>
\(s=\frac{1+b+bc}{1+b+bc}=1\)Vậy với a.b.c=1 S=1
Cho a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=a+b+c+abc ; 3+ab ≠ 2a+b; 3+bc ≠ 2b+c;3+ac ≠2c+a.
C/M: \(\dfrac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}+\dfrac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}+\dfrac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=1\)
Cho a,b,c là các số dương.Biết abc=8 và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{3}{4}\).Tính A=\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\)
Từ đề bài:A=\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=\dfrac{abc}{a^2}+\dfrac{abc}{b^2}+\dfrac{abc}{c^2}=abc\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=8\cdot\dfrac{3}{4}=6\)
\(A=\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\)
\(=\dfrac{abc}{a^2}+\dfrac{abc}{b^2}+\dfrac{abc}{c^2}\\ =abc\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\\ =8\cdot\dfrac{3}{4}\\ =6\)
Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn :\(0< a;b;c< 1\). Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a.\left(1-b\right)}+\dfrac{1}{b.\left(1-c\right)}+\dfrac{1}{c.\left(1-a\right)}\ge\dfrac{3}{1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac}\)
P/s: Đề cương toán lớp 10 trường THPT chuyên sư phạm Hà Nội.
Em xin nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều ạ!
Đặt \(a\left(1-b\right)=x;b\left(1-c\right)=y;c\left(1-a\right)=x\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca=1-a\left(1-b\right)-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-x-y-z\)
BĐT cần c/m trở thành:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{3}{1-x-y-z}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x-y-z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x-y-z}{x}+\dfrac{1-x-y-z}{y}+\dfrac{1-x-y-z}{z}-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-y-z}{x}+\dfrac{1-z-x}{y}+\dfrac{1-x-y}{z}-6\ge0\) (1)
Lại có: \(1-y-z=1-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-b-c+bc+ca=\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca\)
Nên (1) tương đương:
\(\dfrac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca}{a\left(1-b\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-c\right)+ab}{b\left(1-c\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)+bc}{c\left(1-a\right)}-6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\)
BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM do:
\(\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\sqrt[6]{\dfrac{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Cho a + b + c = 1 (a,b,c khác 1,2). Chứng minh
\(\dfrac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\dfrac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\dfrac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\dfrac{bc+ac+ab+8}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(a-2\right)}\)
Lời giải:
Vì $a+b+c=1$ nên:
\(a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1\)
\(=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)\)
\(=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)\)
Do đó:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
\(=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
Ta có đpcm.