ab=1

⇒ \(a=\dfrac{1}{b}\)

⇒ \(a^2=\dfrac{1}{b^2}\)

Thay vào P:

\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{b^2}+b^2}\)

   \(=\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)+\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)

Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương

⇒ \(P\) ≥ \(2\sqrt{\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}}\)

       \(=2\sqrt{2}\)

Min P= \(2\sqrt{2}\) ⇔ \(b^2=\dfrac{1}{b^2}\) ⇔b=1

Chắc chắn đây không phải là 1 đề bài chính xác

Đề bài sai, bạn có thể thử kiểm tra với \(a=1.0001\) và \(b=0.9999\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P=\frac{18}{a^2+b^2}+\frac{10}{2ab}\geq \frac{(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2}{a^2+b^2+2ab}$

$=\frac{(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2}{(a+b)^2}=(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2=28+12\sqrt{5}$

Vậy $P_{\min}=28+12\sqrt{5}$

Bunhiacopxki:

\(\left(b+a+a\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)\ge\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a^2+ab}{\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2}\ge\dfrac{2a^2+ab}{\left(2a+b\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)}=\dfrac{a^2}{c^2+ab+bc}\)

Tương tự:

\(\dfrac{2b^2+bc}{\left(c+\sqrt{ca}+a\right)^2}\ge\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}\)

\(\dfrac{2c^2+ca}{\left(a+\sqrt{bc}+b\right)^2}\ge\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2}{c^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}+\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lời giải:
\(P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}\)

\(=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}\) với $x=ab+bc+ac$

Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$

Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$

$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$

Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$

Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$

Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)