1 cho a\(\ge0;b\ge0.CMR\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Cho \(a\ge0,b\ge0\). Chứng minh:
\(1+a^3+b^3\ge3ab\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).
cho \(a\ge0;b\ge0;c\ge0;\)Cm
\(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
Cho \(a\ge0,b\ge0\) và thỏa mãn \(a+b=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}\)
Lời giải:
Ta có:
$P^2=2+2(a+b)+2\sqrt{(1+2a)(1+2b)}=2+2+2\sqrt{1+2(a+b)+4ab}$
$=4+2\sqrt{3+4ab}$
Vì $a,b\geq 0$ nên $\sqrt{3+4ab}\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow P^2\geq 4+2\sqrt{3}$
$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}+1$. Giá trị này được khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.
cho \(a\ge0,b\ge0\)
cmr \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) đúng
xập bẫy cuả @LUZIMI rồi
tạm cho cái BĐT sau quy đồng là đúng thì ĐK \(a.b\ge1\)
Mà đã gọi BĐT có dấu "=" => đẳng thức khi nào?
cho \(a\ge0,b\ge0\)
c/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :
Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)(2)
Lại có \(ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)(1)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)
Vậy..........................................................................................
Dấu "=" <=> a=b=c
Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Thanks bạn trước!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Áp dụng bđt cô si cho bộ số a,b,c >0
a+b+c>=3 * với căn bậc 3 của abc
1/a+1/b+1/c>=3 * căn bậc 3 của 1/abc
Nhân 2 vế đựợc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
=> đề bài (đpcm)
cho \(a\ge0,b\ge0\)
c/m \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
\(bpt\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
C-S: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế suy ra đpcm
p/s: @Phùng Khánh Linh. Minh từng nói học toán phải từ gốc đến ngọn. Thực tế lp 8 còn ko biết đến C-S Engel là gì. Giải nên thiết thực với thực tế. T nói thế thôi ( góp ý hết sức nhẹ nhàng và éo tình cảm)
nhân a+b+c vào hai vế,ta được:
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)-9\ge0\)
áp dụng BĐT cô-si ta có
\(\Leftrightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x=y
Cho \(a+b=1;a\ge0;b\ge0\)
CMR:\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2\ge\dfrac{25}{2}\)
Ta có BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=4\)
Sử dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2}{1}+\dfrac{\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Cho \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0;\)\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0;\)\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0.\)
CM: \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Cho \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\) thoả \(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\). Xác định tất cả các giá trị a, b, c.