Từ điều kiện đề bài ta có:

\(x^2,y^2,z^2\le1\)

Trong 3 số x, y, z có 2 số cùng dấu: Giả sử là x,y (các trường hợp khác làm tương tự)

\(\Rightarrow xy\ge0\)

Ta có:

\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le z^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)=2z^2\le2\)

Dấu = xảy ra khi x = 0; y = 1; z = - 1.

Vì \(x+y+z=0.\)

\(\Rightarrow x+y=-z.\)

Ta có:

\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1.\)

\(\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\)

Trong 3 số x ; y ; z có ít nhất 2 số cùng dấu (giả sử là x ; y). Ta có:

\(xy\ge0\)

\(\Rightarrow2xy\ge0\)

Có:

\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\) (1).

Ta phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2\le2.\)

Có:

\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(-z\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le2z^2\le2\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right).\)

Chúc em học tốt!

Gợi ý :

Bài 3 :

\(5\left(x^2+2x+1\right)+2\left(y^2+2y+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2=13\)

Bài 2 :

GTLN: Do a,b tự nhiên nên a,b > 0

Áp dụng Cô si ta có :

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{n^2}{4}\)

đk câu a hình như sai đấy

cbfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffsdhnc

b gipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipụt

Câu 2, Do 0<x,y,z<=1 nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+1\ge x+y\\yz+1\ge y+z\\xz+1\ge x+z\end{cases}}}\) 

Thay vào VT ta có:

\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)(1)

Do x,y,z <= 1 nên x+y+z <=3 nên \(\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{3}{3}=1\)(2)

Từ (1),(2) -> dpcm

1/ Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)

Khi đó \(3=a+b+c\le3a\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Ta có:

\(LHS=a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)

\(=9a^2-27a+27=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị.

P/s: Is that true?

Giải:

Theo bài ra ta có:

\(\frac{-5}{6}+\frac{8}{3}+\frac{29}{-6}\le x\le\frac{-1}{2}+2+\frac{5}{12}\)

\(\Rightarrow-3\le x\le\frac{23}{12}\)

\(\Rightarrow x\varepsilon\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

\(\frac{-5}{6}+\frac{16}{6}+-\frac{29}{6}\le x\le\frac{-6}{12}+\frac{24}{12}+\frac{5}{12}\)

=>-3\(\le\) x\(\le\) 23/12

=> x thuộc{-2-1;0;1}

x thuộc {-2;-1;0;1}

vì trong 3 số x,y,z có ít nhất là 2 số cùng dấu

giả sử \(x,y\le0\)\(\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\ge0\)

Mà \(-1\le x,y,z\le1\)nên \(x^2\le\left|x\right|;y^4\le\left|y\right|;z^6\le\left|z\right|\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|=-x-y+z=-\left(x+y\right)+z=2z\le2\)

Dấu " = " xảy ra chẳng hạn x = 0 ; y = -1; z = 1