a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

a)Vì |x-1/2|≥0

|x-1/2|-3≥0-3

A=|x-1/2|-3≥-3

=>A≥-3

Dấu ''='' xảy ra khi

x-1/2=0

x=0+1/2

x=1/2

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là -3 khi  x=1/2

b)

Vì |x-4|≥0

-|x-4|≤0

=>2/3-|x-4|≤2/3-0

2/3-|x-4|≤2/3

=>B=2/3-|x-4|≤2/3

B≤2/3

Dấu ''='' xảy ra khi

x-4=0

x=0+4

x=4

Vậy GTLN của biểu thức là 2/3 khi x=4

\(A=2x^2+\dfrac{4}{x}=2x^2+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8x^2}{x^2}}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=1\)

\(B=x^3+\dfrac{3}{x}=x^3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^3}{x^3}}=4\)

\(B_{min}=4\) khi \(x=1\)

Ai lm đc câu nào thì giúp mk với , cảm ơn !!

\(A=\left|\dfrac{3}{5}-x\right|+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{1}{9}\\ A_{min}=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\\ B=\dfrac{2009}{2008}-\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\le\dfrac{2009}{2008}\\ B_{max}=\dfrac{2009}{2008}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\\ C=-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+1\dfrac{2}{3}\le1\dfrac{2}{3}\\ C_{max}=1\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}x=-4\Leftrightarrow x=-12\)

a: \(A=\left|\dfrac{3}{5}-x\right|+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{1}{9}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{3}{5}\)

a: \(A=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:
Để PS $\frac{2a-3}{4}$ dương và có giá trị nhỏ nhất thì $2a-3>0$ và nhỏ nhất

Vì $2a-3$ nguyên nên $2a-3$ dương và có giá trị nhỏ nhất khi $2a-3=1$

$\Rightarrow a=2$
Vậy $\frac{2a-3}{4}$ nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$

Đk: \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}+4}\)

\(\Leftrightarrow x.P+\sqrt{x}\left(3P-1\right)+4P=0\) (1)

Xét P=0 <=> x=0(tm)

Xét \(P\ne0\) .Coi pt (1) là phương trình ẩn \(\sqrt{x}\)

Phương trình (1) có nghiệm không âm khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7P^2-6P+1\ge0\\\dfrac{1-3P}{P}\ge0\\4\ge0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le P\le\dfrac{1}{7}\\0< P\le\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< P\le\dfrac{1}{7}\)

Kết hợp với P=0 \(\Rightarrow0\le P\le\dfrac{1}{7}\)

Có \(\dfrac{1}{7}>0\) => maxP=\(\dfrac{1}{7}\). Thay \(P=\dfrac{1}{7}\) vào (1) tìm được x=4 (tm)

minP=0 <=> x=0

\(C=-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+1\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow C=-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+\dfrac{5}{3}\)

mà \(-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|\le0,\forall x\)

\(\Rightarrow C=-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+\dfrac{5}{3}\le\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow GTLN\left(C\right)=\dfrac{5}{3}\left(tạix=-12\right)\)

a.

\(f'\left(x\right)=\dfrac{10}{\left(x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[-2;5\right]}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=-7\)

\(\max\limits_{\left[-2;5\right]}f\left(x\right)=f\left(5\right)=\dfrac{7}{4}\)

b.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x-3\\dv=cosxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=sinx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(2x-3\right)sinx|^{\pi}_0-2\int\limits^{\pi}_0sinxdx=-2\int\limits^{\pi}_0sinxdx=-4\)