1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-12m>0\\x_1^2+x_2^2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(2m-3\right)^2-2\left(m^2-4\right)< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\2m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \dfrac{25}{12}\)

3.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=11-m>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 11\\6>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2< m< 11\)

b.

Khi \(m=\dfrac{5}{2}\) pt trở thành pt bậc nhất nên chỉ có 1 nghiệm (loại)

Xét với \(m\ne\dfrac{5}{2}\):

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-3\left(2m-5\right)=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\)

Pt đã cho luôn có 2 nghiệm \(\forall m\ne\dfrac{5}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{2m-5}\\x_1x_2=\dfrac{3}{2m-5}\end{matrix}\right.\)

Két hợp Viet với điều kiện đề bài:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{2m-5}\\x_1-x_2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{8m-17}{2\left(2m-5\right)}\\x_2=\dfrac{-4m+13}{2\left(2m-5\right)}\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=\dfrac{3}{2m-5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(8m-17\right)\left(-4m+13\right)}{4\left(2m-5\right)^2}=\dfrac{3}{2m-5}\)

\(\Rightarrow32m^2-148m+161=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{7}{4}\\m=\dfrac{23}{8}\end{matrix}\right.\)

Câu b của em là 2 ý phân biệt đúng không?

b) Thay x=2 vào pt, ta được:

\(4\left(m^2-1\right)-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow5m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(5m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2+2=0\\x_2+2=\dfrac{6}{5}:\left(\dfrac{36}{25}-1\right)=\dfrac{30}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=-2\\x_2=\dfrac{8}{11}\end{matrix}\right.\)

*, Để pt (3) có nghiệm 

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(-4m\right)=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\ge0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm x1 ; x2 

*, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2\ge0\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi \(m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne-1\)

Vậy với m khác -1 thì pt (3) luôn có 2 nghiệm pb 

3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

2.

a. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5m+4\ge0\\x_1x_2=5m-4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le1\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\\dfrac{4}{5}< m\le1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1+x_2=2m>2.\dfrac{4}{5}>0\) nên 2 nghiệm cùng dương

b. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=m^2-12m\ge0\\x_1x_2=\dfrac{3}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge12\\m\le0\end{matrix}\right.\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge12\)

Khi đó \(x_1+x_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm cùng âm

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

\(2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0\)

\(4-2m-8+3m+3=0\)

\(-1+m=0\)

\(m=1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

Phương trình có nghiệm là x = 2. Thay x = 2 vào phương trình để tìm m:

$2^2-2\left(m+4\right)+3m+3=0$22−2(m+4)+3m+3=0

$4-2m-8+3m+3=0$4−2m−8+3m+3=0

$-1+m=0$−1+m=0

$m=1$m=1

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 khi m = 1

với x=2 ta có:

2²-(m+4)*2+3m+3=0

<=>4-2m+8+3m+3=0

<=>x-1=0

<=>x=1

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-3\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m-5\right)\)

a.

Phương trình có nghiệm kép khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=m-2\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)\left(m-5\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=5\)

b.

Phương trình có 2 nghiệm pb khi: 

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\left(m-2\right)\left(m-5\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< 2\end{matrix}\right.\)

c.

- Với \(m=2\) pt vô nghiệm

- Với \(m\ne2\) pt có nghiệm khi: \(\left(m-2\right)\left(m-5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge5\\m< 2\end{matrix}\right.\)

d.

Pt vô nghiệm khi: \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\\left(m-2\right)\left(m-5\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\le m< 5\)

d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)