Để chứng minh hằng đẳng thức a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)^3, ta sẽ sử dụng công thức khai triển đa thức.

Theo công thức khai triển đa thức, ta có:

(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

Vậy, hằng đẳng thức được chứng minh.

(a+b+c)^3=((a+b)+c)^3=(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)
=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)
=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+c(a+b+c))
=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)
=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)

bạn vào link mik gửi nha!!!

(a+b+c)³ = (a + b)³ + c³ + 3(a+b)c.(a+b+c)

= a³ + b³ + 3ab.(a+b) + c³ + 3(a+b)c(a+b+c) = a³ + b³ + c³ + 3(a+b). (ab + ac + bc + c² )

= a³ + b³ + c³ + 3.(a+b). [a(b+c) + c.(b+c)] = a³ + b³ + c³ + 3(a+b).(a+c).(b+c)\(\Rightarrowđpcm\)

(Cái trong ngoặc bạn tự phân tích đa thức thành nhân tử 1 cách dễ dàng.
(a+b+c)3−a

Ta có: (a+b+c)³ - a³ -b³ -c³

=a³ +b³ +c³ +3(a+b)(b+c)(c+a)-a³-b³-c³

=(a³-a³)+(b³-b³)+(c³-c³) +3(a+b)(b+c)(c+a)

=3(a+b)(b+c)(c+a) (đpcm)

ban su dung hang dang thuc la ra

Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).

Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)

Với a, b>0 các bn nha

 \(\left(a+b+c\right)^3=\left[\left(a+b\right)+c\right]^3=\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2+c^3\)

\(=\left(a^3+3a^2b+3b^2a+b^3\right)+3c\left(a^2+2ab+b^2\right)+3c^2\left(a+b\right)+c^3\)

\(=a^3+3a^2b+3b^2a+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+3bc^2+c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3+\left(3a^2b+3b^2a+3b^2c+3c^2b+3a^2c+3c^2a+6abc\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a+2abc\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

b)  \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Biến đổi VT ta có :

+) \(a^3+b^3+c^3=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3+3c^3=3ab+3bc+3ca\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

< => VT = VP 

=> đpcm

\(VP=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)

                                                              \(=a^3+b^3=VT\)