B1) Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                      \(=x^2+y^2+z^2+2.0\)

                                       \(=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)

B2)  \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall c;a\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)}\)

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right).2=\left(ab+bc+ca\right).2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)thì \(a=b=c\)

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

A = [ n³(n²-7)²-36n ] ⋮ 7 với ∀n ϵ Z

\(=n\cdot\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)

\(=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

\(=n\left(n^3-n-6n-6\right)\left(n^3-n-6n+6\right)\)

\(=n\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(n+1\right)\right]\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(n-1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\cdot\left(n-1\right)\left(n+3\right)\left(n-2\right)\)

Vì đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp 

nên \(A⋮7!=5040\)

hay \(A⋮105\)

​

Vì đây là 7 số nguyên liên tiếp

nên A chia hết cho 7!

=>A chia hết cho 5040

=>A chia hết cho 210

a,\(5n^3+15n^2+10n=5n\left(n^2+3n^2+2\right)=5n\left(n^2+n+2n+2\right)=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)Nhận thấy 5n(n+1)(n+2)\(⋮5\) vì \(5⋮5\) (1)

và \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) vì n(n+1)(n+2) là ba số tự nhiên liên tiếp (2)

Từ (1)và(2)\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮30\Rightarrowđpcm\)

b, \(n^3\left(n^2-7\right)-36n\)

\(=n\left[\left(n^2\right)\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)

\(=n\left[\left(n^3-7n\right)^2-36\right]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮3,5,7\Rightarrow⋮105\Rightarrowđpcm\)

Bn Mai Xuân Phong ơi!Câu a, 5x³hay là 5n³ vậy?

M=n^3(n^2−7)^2−36n

n[n^2(n^2−7)^2−36]

= n.[(n^3−7n)^2−6^2]

= n(n^3−7n−6)(n^3−7n+6)

=(n−3)(x−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3)

M luôn chia hết cho 2;3;5. Các số này đôi 1 nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 105

Dễ dàng phân tích được

\(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A⋮3\\A⋮5\\A⋮7\end{matrix}\right.\)

Do \(\left(3;5;7\right)=1\Rightarrow A⋮105\)