Đặt \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n=A\)
Ta có :
\(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)
\(=n.\left[\left(n^3-7n\right)^2-6^2\right]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Ta có \(A⋮3;5;7\) ( vì có \(\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là 7 số tự nhiên liên tiếp )
Mà 3; 5; 7 là đôi một nguyen tố cùng nhau
\(\Rightarrow A⋮3.5.7\Rightarrow A⋮105\)
Very easy!!! Bạn chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử là ok
Ta có: n3.(n2-7)2 -36n = \(n^3.\left(n^4-14n^2+49\right)-36n\)
= \(n^7-14n^5+49n^3-36n\)
= \(n^7+12n^5+36n^3-25n^5-n^5-12n^3-36n+25n^3\)
= \(n^3\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)-n\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)
= \(\left(n^3-n\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)
= \(n\left(n^1-1\right)\left[\left(n^4+12n^2+36\right)-25n^2\right]\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2+6\right)^2-\left(5n\right)^2\right]\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
= \(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) (*)
Mà (*) là tích của số nguyên liên tiếp => (*) \(⋮\) 7! ( Đây là tính chất nhé)
=> (*) \(⋮\) 5040 => (*) \(⋮\) 105 => đpcm
P/s : Bạn có thể xét tính chẳn lẻ của n cũng đc nhưng lâu hơn
