Tìm b, c để phương trình \(x^2+bx+c=0\) có hai nghiệm là những số dưới đây :
a) \(x_1=-12,x_2=2\)
b) \(x_1=-5,x_2=0\)
c) \(x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}\)
d) \(x_1=3,x_2=-\dfrac{1}{2}\)
Cho phương trình \(x^2-7x+10=0\) ,không giải phương trình hãy tính:
A = \(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2\)
B = \(\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2}\)
C = \(\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}\)
D = \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)
Ptrình : \(x^2-7x+10=0\)
Ta có : \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.1.10=9>0\)
=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x1\) và \(x2\)
\(x1=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{\Delta}}{2.1}=\dfrac{7+\sqrt{9}}{2}=5\)
\(x2=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{\Delta}}{2.1}=\dfrac{7-\sqrt{9}}{2}=2\)
Vậy :
A = \(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=5^2+2^2+3.5.2=59\)
B = .................
.... (có x1 và x2 rồi thik thay vào lak tính đc, cái này bn tự tính nha)
Nhận thấy rằng phương trình tích \(\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\) hay phương trình bậc hai \(x^2-x-6=0\) có hai nghiệm là \(x_1=-2,x_2=3\). Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau :
a) \(x_1=2,x_2=5\)
b) \(x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=3\)
c) \(x_1=0,1,x_2=0,2\)
d) \(x_1=1-\sqrt{2},x_2=1+\sqrt{2}\)
Gọi
x1,x2 là hai nghiệm của pt \(x^2-2x-1=0\) tính giá trị của các biểu thức:
A=\(x_1^2+x_2^2\)
B=\(x_1^3+x_2^3\)
C=\(x_1^4+x_2^4\)
D=\(x_1^2.x_2+x_2^2.x_1\)
E=\(\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_1}\)
F=\(\left|x_1-x_2\right|\)
G=\(\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}\)
H=\(\left(x_1+\dfrac{2}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{2}{x_1}\right)\)
,có \(ac< 0\)=>pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2\\x1x2=-1\end{matrix}\right.\)
a,\(A=\left(x1+x2\right)^2-2x1x2=.....\) thay số tính
b,\(B=\left(x1+x2\right)^3-3x1x2\left(x1+x2\right)=.......\)
c,\(C=x1^{2^2}+x2^{2^2}=\left(x1^2+x2^2\right)^2-2\left(x1x2\right)^2=\left[\left(x1+x2\right)^2-2x1x2\right]^2-2\left(x1x2\right)^2=....\)
\(D=x1x2\left(x1+x2\right)=.....\)
\(x1,x2\ne0=>E=\dfrac{\left(x1+x2\right)^3-3x1x2\left(x1+x2\right)}{x1x2}=...\)
\(F=\sqrt{\left(x1-x2\right)^2}=\sqrt{\left(x1+x2\right)^2-4x1x2}=....\)
\(x1,x2\ne-1=>G=\dfrac{\left(x1+x2\right)^2-2x1x2+x1x2}{x1x2+x1+X2+1}=...\)
\(x1,x2\ne0=>H=\left(\dfrac{x1x2+2}{x2}\right)\left(\dfrac{x1x2+2}{x1}\right)=\dfrac{\left(x1x2+2\right)^2}{x1x2}\)
\(=\dfrac{\left(x1x2\right)^2+4x1x2+4}{x1x2}=..\)
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
\(x^2-2mx-m^2-1=0\) (1)
a) Giải phương trình (1) khi `m = 2`
b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm \(X_1;X_2\) thỏa mãn:
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-\dfrac{5}{2}\)
(a) Khi \(m=2,\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-4x-5=0\left(2\right)\).
Phương trình (2) có \(a-b+c=1-\left(-4\right)+\left(-5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-\dfrac{c}{a}=5\end{matrix}\right.\).
Vậy: Khi \(m=2,S=\left\{-1;5\right\}\).
(b) Điều kiện: \(x_1,x_2\ne0\Rightarrow m\in R\)
Phương trình có nghiệm khi:
\(\Delta'=\left(-m\right)^2-1\cdot\left(-m^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2m^2+1\ge0\left(LĐ\right)\)
Suy ra, phương trình (1) có nghiệm với mọi \(m\).
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-1\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2m\right)^2+\left(-m^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow7m^2=1\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{7}\) (thỏa mãn).
Vậy: \(m=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{7}.\)
6 Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-x-3=0\) .Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A=\(x_1^2+x_2^2\)
b. B=\(x_1^2x_2+x_1x_2^2\)
c. C=\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)
d. D=\(\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{1}{1}=1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3\end{matrix}\right.\)
a
\(A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1^2-2.\left(-3\right)=1+6=7\)
b
\(B=x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(-3\right).1=-3\)
c
\(C=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\)
d
\(D=\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1^2-2.\left(-3\right)}{-3}=\dfrac{1+6}{-3}=\dfrac{7}{-3}=-\dfrac{3}{7}\)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2+2x-4=0. Hãy lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là:
a) x1+2 và x2+2
b) \(\dfrac{1}{x_1+1}\) và \(\dfrac{1}{x_2+1}\)
c) \(\dfrac{x_1}{x_2}\)và \(\dfrac{x_2}{x_1}\)
d) \(x^2_1\)+\(x^2_2\) và \(x_1\)+\(x_2\)
Mọi người giúp mình với. Cần gấp trước 19h15 hôm nay, mình cảm ơn trước ạ.
a: x1+x2=-2; x1x2=-4
x1+x2+2+2=-2+2+2=2
(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4
=-4+2*(-2)+4=-4
Phương trình cần tìm là x^2-2x-4=0
b: \(\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{x_1+x_2+2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)
\(=\dfrac{x_1+x_2+2}{x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)+1}\)
\(=\dfrac{-2+2}{-4+\left(-2\right)+1}=0\)
\(\dfrac{1}{x_1+1}\cdot\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{1}{-4-2+1}=\dfrac{-1}{5}\)
Phương trình cần tìm sẽ là; x^2-1/5=0
c: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-4\right)}{-4}=\dfrac{4+8}{-4}=-3\)
x1/x2*x2/x1=1
Phương trình cần tìm sẽ là:
x^2+3x+1=0
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\)
a, Tìm m để hai nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\)
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2-3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2+12=8m+16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì 8m+16>=0
hay m>=-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1^2+x_2^2+1=3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-5\left(m^2-3\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-5m^2+15+1=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+8m+20=0\)
=>(m-10)(m+2)=0
=>m=10 hoặc m=-2
a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=m^2+2m+1-m^2+3=2m+4\)
Để pt có 2 nghiệm x1 ; x2 khi \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-2\)
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+1}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(m^2+2m+1\right)-2\left(m^2-3\right)+1}{m^2-3}=3\)
\(\Rightarrow2m^2+8m+11=3m^2-9\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Leftrightarrow m=10;m=-2\)(tm)
Giả sử \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0,\left(x\ne0\right)\). Điều nào sau đây đúng ?
a) \(x_1+x_2=\dfrac{b}{a};x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)
b) \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a};x_1.x_2=-\dfrac{c}{a}\)
c) \(x_1+x_2=\dfrac{b}{a};x_1.x_2=-\dfrac{c}{a}\)
d) \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a};x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)
Theo hệ thức viet thì đáp án là câu d(đk là a khác 0)