tách m^2 thành m^2/4

T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)

Ta có 

\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)

\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)

\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)

\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)

Cộng vế theo vế được

m² + n² + p² + q² + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)

Vào CHTT,có đấy

Với mọi m;n;p;q dương nhé bạn!

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:

\(\dfrac{m^2}{4}+n^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2n^2}{4}}=mn\)

\(\)\(\dfrac{m^2}{4}+p^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2p^2}{4}}=mp\)

\(\dfrac{m^2}{4}+q^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2q^2}{4}}=mq\)

\(\dfrac{m^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{m^2}{4}}=m\)

Cộng theo vế: \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)

\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm. 

m² + n² + 1/4 ≥ 2mn + m - n 

<=> 4m² + 4n² + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n

<=> 4m² + 4n² + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0

<=> ( 2m - 2n + 1 )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy ta có đpcm

Chú ý (không ghi): bạn dụng dấu ngoặc nhọn cho hệ phương trình ở cuối bài

Ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(\frac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(\frac{m}{2}-n\right)^2+\left(\frac{m}{2}-p\right)^2+\left(\frac{m}{2}-q\right)^2+\left(\frac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)  \(\left(2\right)\)

Bất đẳng thức \(\left(2\right)\)  luôn đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\)  được chứng minh. 

Dấu  \(''=''\)  xảy ra khi       

\(\frac{m}{2}-n=0\)                           \(n=\frac{m}{2}\)                     

\(\frac{m}{2}-p=0\)                           \(p=\frac{m}{2}\)                             \(m=2\)

                                    \(\Leftrightarrow\)                                   \(\Leftrightarrow\)   

\(\frac{m}{2}-q=0\)                            \(q=\frac{m}{2}\)                             \(n=p=q=1\)

\(\frac{m}{2}-1=0\)                           \(m=2\)

cảm ơn nhìu nha

Giải:

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)

m²+n²+p²+q²+1\(\ge\)m(n+p+q+1)(*)

nhân cả hai vế cho 4 ta được

(*)<=>(m²-4mn+4n²)+(m²-4mp+4p²)+(m²-4mq+4q²)+(m²-4m+4)\(\ge0\)

<=>(m-2n)²+(m-2p)²+(m-2q)²+(m-1)²\(\ge0\)

luôn đúng=>điều phải chứng minh

\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)

\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)

\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)

...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

- Với \(n=0\) thỏa mãn

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay \(2^k\ge k+1\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(2^{k+1}\ge k+2\)

Thật vậy, ta có: \(2^{k+1}=2.2^k\ge2\left(k+1\right)=2k+2\ge k+2\) với mọi k tự nhiên (đpcm)