\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)

Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:

\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)

Lời giải:

Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)

\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)

PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)

Với $a\neq 0$

Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)

Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)

Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:

\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)

Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Bài 1:

Áp dụng hệ thức Viete của pt bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-b}{a}=-4(1)\\ \frac{c}{a}=-5(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow b=4a\). Mà \(a+b=5\) nên \(\Leftrightarrow a+4a=5\Leftrightarrow 5a=5\Leftrightarrow a=1\)

\(\Rightarrow b=4a=4\)

Từ \((2)\Rightarrow c=-5a=-5\)

Do đó PT là: \(x^2+4x-5=0\) (thử lại thấy thỏa mãn)

Bài 2:

\(\left\{\begin{matrix} x=2\\ mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2m+y=m^2+3\)

\(\Leftrightarrow y=m^2-2m+3\)

Khi đó:

\(x+y=2+m^2-2m+3=m^2-2m+5\)

\(x+y=(m-1)^2+4\geq 4\) do \((m-1)^2\ge 0\forall m\in\mathbb{R}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)

Do đó $x+y$ đạt min khi \(m=1\)

1)

Bài toán tương hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}b^2-4c\ge0\\a+b=5\\\dfrac{-b}{a}=-4\\\dfrac{c}{a}=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\ge4c\left(1\right)\\a+b=5\left(2\right)\\4a-b=0\left(3\right)\\5a+c=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

(2) cộng (3) \(\Leftrightarrow5a=5\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{5}=1\) thế vào (2) => b =4

thế vào (4) => c=-5 ; c <0 => (1) luôn đúng

Kết luận (không phải thử lai hành động vô nghĩa )

\(f\left(x\right)=x^2+4x-5\)

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

thế (1) vào (2)

<=>\(y=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2\)

x hằng số => x+y nhỏ nhất khi y nhỏ nhất

có (m-1)^2 >=0 đẳng thức khi m =1

=> y nhỏ nhất => m =1

kết luận :

m =1

bài bắt tìm "m" => để (x+y ) nhỏ nhất không bắt tính (x+y) do đâu cần biểu thức (x+y) phức tạp thêm vô bỏ