\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2y^2}+\dfrac{y^4}{x^2y^2}+\dfrac{4x^2y^2}{x^2y^2}\ge3\left(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3x^2+3y^2}{xy}-\dfrac{6xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{xy}=\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\right)\ge6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{2y^2}{x^2}+8\ge\dfrac{6x}{y}+\dfrac{6y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y^2}+2+\dfrac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-4.\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+4+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)^2+\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)

\(^{\left(1\right)}\)đúng \(\Rightarrowđpcm\)

Áp dụng BĐT : x⁴ + y⁴ ≥ 2x²y²

=> \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2 ( x , y > 0 )

TT , \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2 ( x , y > 0 )

Ta có : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) + 4 ≥ 6 ( 1 )

\(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\) ≥ 6 ( 2 )

Từ ( 1 ; 2) => đpcm

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)

\(y^2-yz+z^2=y^2+\left(z-y\right)y\le y^2\Rightarrow\dfrac{1}{y^2-yz+z^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{z^2-xz+x^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}+\dfrac{1}{xy}\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2\left(x^2-xy+y^2\right)}}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{3}{xy}\ge\dfrac{12}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{12}{\left(x+y+z\right)^2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\) và hoán vị

Note \(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\)

Nên ta sẽ đặt \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t\ge2\). Khi đó

\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

\(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-1\right)\ge0\)

BĐT cuối đúng vì \(t\ge 2\)

Lời giải:

Ta có \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\geq 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\geq 0\) (1)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)

\((1)\Leftrightarrow a^2-3a+2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\)\((\star)\)

Ta thấy \(a^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm \(\frac{x^2}{y^2};\frac{y^2}{x^2}\)

\( a^2\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}+2=4\)

\(\Rightarrow a\geq 2\) hoặc \(a\leq -2\)

+TH1: \(a\geq 2\Rightarrow a-2;a-1\geq 0\Rightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\), ta thu được \((\star)\)

+TH2: \(a\leq -2\Rightarrow a-2;a-1\leq 0\Rightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\), ta thu được \((\star)\)

Vậy bài toán được chứng minh.

BĐT tương đương

\(\dfrac{x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2-3xy\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)\left(x-y\right)\right]^2-3xy\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right]\ge0\)

BĐT cuối đúng. Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a=b

Nhầm biến ở 2 dòng cuối :v

Điều kiện là \(xy\ne0\)

BĐT tương đương:

\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)

Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:

\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)