Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

\(a^3+b^3+c^3-3abc\ge\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\left(ab^2+bc^2+ca^2-3abc\right)\)

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca>0. Chứng minh rằng

\(\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2b^2+ca}+\frac{1}{2c^2+ab}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{12}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(A=\sqrt{x+4\sqrt{x-2}+2}+\sqrt{x-4\sqrt{x-2}+2}\)

\(=\sqrt{x-2+4\sqrt{x-2}+4}+\sqrt{x-2-4\sqrt{x-2}+4}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{x+2}+2+\left|\sqrt{x-2}-2\right|\)

Với \(x\ge6\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x-2}-2\ge0\)\(\Rightarrow A=2\sqrt{x-2}\)

Với \(2\le x< 6\) \(\Rightarrow\sqrt{x-2}-2< 0\) \(\Rightarrow A=\sqrt{x-2}+2+2-\sqrt{x+2}\)

\(\Rightarrow A=4\)

a) \(M=4x+4ax-7y-4ay+3x-5\)

\(=7\left(x-y\right)+4a\left(x-y\right)-5\)

\(=-5\)

b) \(N=x^3+x^2y-2x^2-xy-y^2+3y+x+2019\)

\(=x^2\left(x+y-2\right)-y\left(x+y-2\right)+x+y-2+2021\)

\(=2021\)

a)

Gọi giao của AM và OI là H, giao của O'I và AN là K

Ta có: IO là phân giác \(\widehat{MIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)

IO' là phân giác \(\widehat{NIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)

Do đó suy ra \(\widehat{OIO'}\) =90^o (2 tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)

Ta có: \(OA=OM=R\)

\(\Rightarrow\) O thuộc đường trung trực của AM ⁽¹⁾

Ta có: \(IA=IM\) ( tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) I thuộc đường trung trực của AM ⁽²⁾

⁽¹⁾⁽²⁾\(\Rightarrow\) OI là trung trực của AM

\(\Rightarrow\)\(\widehat{IHA}\) \(=90^o\)

Chứng minh tương tự: O'I là trung trực của AN

\(\Rightarrow\) \(\widehat{IKA}\) \(=90^o\)

Do đó AHIK là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}\)\(=90^o\)

b)

Giả sử R>R'

Từ O'kẻ đường thẳng song song với MN cắt OM tại D

\(\Rightarrow\) \(OD\)//\(MN\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{O'DM} \)\(=90^o\)

Mà \(\widehat{OMN}\)=90^o, \(\widehat{O'NM}\) =90^o

^{\(\Rightarrow MNO'D\) là hình chữ nhật}

^{\(\Rightarrow MN=O'D,MD=NO'=R',OD=OM-MD=R-R'\)}

^{Vì \(\widehat{O'DM}\)} =90

\(\Rightarrow\) \(\Delta ODO'\) là tam giác vuông

\(\Rightarrow DO^2=OO'^2-OD^2\)( định lý pythagor)

\(\Rightarrow DO^2=\left(R+R'\right)^2-\left(R-R'\right)^2=4RR'\)

\(\Rightarrow DO=2\sqrt{RR'}\)

\(\Rightarrow MN=2\sqrt{R.R'}\left(đpcm\right)\)

Cho a,b,c là 3 số thực không âm sao cho không 2 số nào cùng bằng 0 đồng thời

. Chứng minh rằng

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}.\sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}}\ge\frac{7\sqrt{2}}{2}\)