Lời giải:

$M=\frac{3(x^2+1)+x^2y^2+y^2-2}{(x+y)^2+5}=\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{(x+y)^2+5}$

Ta thấy:

$x^2\geq 0; x^2y^2\geq 0; y^2\geq 0$ nên:

$3x^2+x^2y^2+y^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$

$(x+y)^2\geq 0\Rightarrow (x+y)^2+5\geq 5>0$ với mọi 

$x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$

Do đó: $M>0$ (do cả tử và mẫu đều lớn hơn 0)

Hay $M$ là số dương (đpcm)

a)...........................

b)\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\dfrac{x^2}{4}+x^2y+\dfrac{y}{4}+y^2+x^2y^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3y}{4}}{x^2y^2+1+y^2-x^2y-y+x^2}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{1}{4}+y+x^2y+y^2+x^2y^2}{x^2\left(y^2-y+1\right)+\left(y^2-y+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\dfrac{\left(x^2+1\right)}{4}+y\left(x^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)}{\left(y^2-y+1\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(\dfrac{1}{4}+y+y^2\right)}{\left(y^2-y+1\right)\left(x^2+1\right)}=\dfrac{4y^2+4y+1}{4\left(y^2-y+1\right)}\)(không phụ vào x)

\(\Rightarrowđpcm\)

c) Bạn tự làm đi tới đây dễ rồi

\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)

\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)

\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)

Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)

Vậy \(A\ne B\)

\(y'=\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x-m\)

\(m=-1\Rightarrow y'=1>0\forall x\in R\)

\(m\ne-1\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}< 0\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=-1 thì...

a: \(B=\left(x^2+y\right)\left(y+\dfrac{1}{4}\right)+x^2y^2+\dfrac{3}{4}\left(y+\dfrac{1}{3}\right)\)

\(=x^2y+\dfrac{1}{4}x^2+y^2+\dfrac{1}{4}y+x^2y^2+\dfrac{3}{4}y+\dfrac{1}{4}\)

\(=x^2y+x^2y^2+y^2+y+\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{4}\)

\(=y\left(x^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(C=x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)\)

\(=x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\)

\(=x^2y^2-y+x^2+y^2-x^2y+1\)

\(=y^2\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)+x^2+1\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(y^2-y+1\right)\)

=>\(A=\dfrac{y^2+y+\dfrac{1}{4}}{y^2-y+1}\)

b: \(=\dfrac{y^2-y+1+2y-\dfrac{3}{4}}{y^2-y+1}=1+\dfrac{2y-\dfrac{3}{4}}{y^2-y+1}>=1\)

Dấu = xảy ra khi y=3/8

\(\left(x-1\right)\left(x^2+y\right)-\left(x^2-y\right)\left(x-2\right)-x\left(x+2y\right)+3\left(y-5\right)\)

\(=\left(x^3+xy-x^2-y\right)-\left(x^3-2x^2-xy+2y\right)-\left(x^2+2xy\right)+\left(3y-15\right)\)

\(=x^3+xy-x^2-y-x^3+2x^2+xy-2y-x^2-2xy+3y-15\)

\(=-15\)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

(x - 1).(\(x^2\) + y) - (\(x^2\) - y).(x - 2) - x (x + 2y) + 3 (y - 5)

= \(x^3\) + xy \(-x^2\) - y \(-x^3\) + \(2x^2\) + xy - 2y \(-x^2\) - 2xy + 3y - 15

= \(x^3\) \(-x^3\) \(-x^2\) \(-x^2\) + \(2x^2\) - y - 2y + 3y + xy + xy - 2xy - 15

= -15

Xét tử và mẫu của phân số này.

Ta thấy mẫu số là (x+y)^2+5 có (x+y)^2>=0 

                                               5 > 0

=> (x+y)^2+5>0

Ta thấy tử số là 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2-2 có

+) x^2+1>=1 ( do x^2>=0) => 3(x^2+1)>=3

+) x^2*y^2 >=0

+)y^2 >=0

Từ các điều trên => 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2>=3

                        => 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2-2>=1>0

=> M dương

Vậy M luôn dương với mọi x và y