a, Ta có:

góc CAN + BAM + BAC = 180 độ 

mà góc BAC = 90 ( tam giác ABC vuông cân tại A )

 \(\Rightarrow\)BAM + CAN = 90 độ ( 1 )

Xét tam giác MBA vuông tại M , ta có:

BAM + ABM  = 90 độ ( tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow\)CAN + BAM = BAM + ABM 

\(\Rightarrow\)CAN = ABM 

Xét tam giác vuông MAB và tam giác vuông NCA , ta có :

AB = AC ( tam giác ABC vuông cân tại A )

CAN = ABM 

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)MAB = \(\Delta\)NCA ( ch - gn )

b, Vì \(\Delta MAB=\Delta NCA\)(CMT)

\(\Rightarrow\)AM = CN ( 2 cạnh tương ứng )

Xét \(\Delta MBA\)vuông tại M , ta có :

\(BM^2+AM^2=AB^2\)( định lý Py - ta - go )

mà AM = CN ( CMT )

\(\Rightarrow BM^2+CN^2=AB^2\)( ĐPCM)

a) Đường thẳng d đi qua A mà k cắt BC => d // BC (1)

; BM  |  d ; CN  |  d => BM // CN (2)

Từ (1) và (2) => BM = CN (tính chất đoạn chắn)

Xét hai tam giác vuông MAB và NCA có :

AB = DC (do tam giác ABC vuông cân tại A)

BM = CD (cmt)

\(\Rightarrow\Delta MAB=\Delta NCA\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Từ \(\Delta MAB=\Delta NCA\) (câu a) \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{C}\) và \(\widehat{B}=\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) (3) (vì cụng phụ với 2 góc bằng nhau)

; mà \(\widehat{BAC}+\widehat{MAB}+\widehat{NAC}=180^o\) (kề bù) , \(\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{NAC}=90^o\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{NAC}=45^o\)

\(\Rightarrow\) Tam giác MAB vuông cân tại M

\(\Rightarrow AM=AB\)

Đã có BM = CN (cm a) \(\Rightarrow AM=CN\)

Xét tam giác vuông AMB có \(AB^2=BM^2+AM^2\) hay \(AB^2=BM^2+CN^2\)

c)

Theo phần b: \(\triangle OBM=\triangle OCN\Rightarrow \angle OBM=\angle OCN(1)\)

Ta cũng thấy:

\(AO\) là trung trực của $BC$ (đã chỉ ra ở phần b) nên \(AB=AC, OB=OC\)

Do đó: \(\triangle ABO=\triangle ACO\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \angle ABO=\angle ACO\) hay \(\angle OBM=\angle ACO(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \angle ACO=\angle OCN\)

Mà tổng 2 góc trên bằng $180^0$ nên mỗi góc bằng $90^0$

Vậy \(\angle OCN=90^0\Rightarrow OC\perp AN\)

d)

Ta có: \(\angle OBM=\angle OCN=90^0\Rightarrow AB\perp OB\)

Tam giác vuông tại $B$ là $ABO$ có đường cao $BH$ nên theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta thu được kết quả:

\(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BO^2}=\frac{1}{1}{BH^2}=\frac{1}{(\frac{BC}{2})^2}=\frac{4}{BC^2}\) (do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên chân đường cao $H$ đồng thời cũng là trung điểm của $BC$)

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

Lời giải:
a)

Vì \(BM\parallel ND\Rightarrow \angle MBI=\angle IDN=\angle CDN\) (so le trong)

Mà: \(\angle MBI=\angle ACB=\angle DCN\) (do tam giác ABC cân)

\(\Rightarrow \angle CDN=\angle DCN\) .

Do đó tam giác $NCD$ cân tại $N$

\(\Rightarrow NC=ND\) . Mà \(NC=BM\Rightarrow BM=ND\)

Tứ giác $BMDN$ có hai cạnh đối $BM,ND$ vừa song song vừa bằng nhau nên $BMDN$ là hình bình hành.

b) Vì tam giác $ABC$ cân nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung trực của $BC$

$O$ nằm trên $AH$ nên \(OB=OC(1)\)

Theo phần a, $BMDN$ là hbh nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó $I$ là trung điểm của $MN$

Mà \(OI\perp MN\Rightarrow OI\) là trung trực của $MN$

\(\Rightarrow OM=ON(2)\)

Giả thiết có \(BM=CN(3)\)

Từ (1);(2);(3) suy ra \(\triangle OBM=\triangle OCN(c.c.c)\)

Bài 1: 

Sửa đề: Cho ΔABC vuông tại A

a: Xét ΔHAC có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC

hay MN\(\perp\)AB

Xét ΔANB có

AH là đường cao

NM là đường cao

AH cắt NM tại M

DO đó:M là trực tâm của ΔANB

b: Tacó: M là trực tâm của ΔANB

nên BM\(\perp\)AN

-CN VUÔNG GÓC VỚI NM 1

-BM VUÔNG GÓC VỚI MN 2

THEO ĐỊNH LUẬT TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG \(\Rightarrow\)CN SONG SONG VỚI BM.

\(\Rightarrow\)NC VUÔNG GÓC VỚI BC HAY GÓC NCB =90 ĐỘ. 3

TỪ 1, 2,3 SUY RA CBMN LÀ HÌNH CHỮ NHẬT \(\Rightarrow\)CN=BM

XÉT 2 TAM GIÁC MAB(  GÓC N =90 ĐỘ) VÀ TAM GIÁC NVA ( GÓC M = 90 ĐỘ )CÓ 

CA=AB( GT)

CN=BM( CMT)

\(\Rightarrow\)HAI TAM GIÁC TRÊN BẰNG NHAU ( CẠNH GÓC VUÔNG-CẠNH GÓC VUÔNG)

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

a: HB=HC=6cm

\(HA=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

DO đo: ΔABM=ΔACN

Xét ΔBDM vuông tại D và ΔCEN vuông tại E có

BM=CN

\(\widehat{M}=\widehat{N}\)

Do đó: ΔBDM=ΔCEN

c: Xét ΔKBC có

KH là đường cao

KH là đường trung tuyến

Do đó:ΔKBC cân tại K

=>\(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)

=>\(\widehat{KCB}=\widehat{DBM}\)

=>\(\widehat{KCB}=\widehat{ECN}\)

=>\(\widehat{KCB}+\widehat{BCE}=180^0\)

=>K,E,C thẳng hàng