\(BE||DM\) (cùng vuông góc AC)

Theo định lý Talet: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{CK}{CH}\\\dfrac{DK}{BH}=\dfrac{CK}{CH}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{MK}{EH}=\dfrac{DK}{BH}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{EH}=\dfrac{DK}{MK}\)

Hai tam giác vuông AHE và ACD đồng dạng (chung góc A) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AE}{AD}\Rightarrow AH.AD=AC.AE\)

Tương tự CHE đồng dạng CAF \(\Rightarrow\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{CE}{CF}\Rightarrow CH.CF=AC.CE\)

\(\Rightarrow AH.AD+CH.CF=AC.AE+AC.CE=AC\left(AE+CE\right)=AC^2\) (1)

Lại có 2 tam giác vuông ACD và DCM đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{CD}{CM}\Rightarrow AC=\dfrac{CD^2}{CM}\Rightarrow AC^2=\dfrac{CD^4}{CM^2}\) (2)

(1); (2) suy ra đpcm

2.

\(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-\dfrac{3}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3-\dfrac{3}{xy}\left(-\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{z^3}\)

\(=\left(-\dfrac{1}{z}\right)^3+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}\)

\(=-\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)

Do đó:

\(P=\dfrac{2017}{3}xyz.\dfrac{3}{xyz}=2017\)

Bài 1: Áp dụng Định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC:AB²+AC²=BC²=>BC²=12²+16²=400=>BC=20(cm).

 Áp dụng Định lý:"Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền"cho tam giác ABC:AM=\(\frac{1}{2}\)BC=\(\frac{1}{2}\).20=10cm

Do G là trọng tâm nên:AG=\(\frac{2}{3}\)AM=\(\frac{2}{3}\).10\(\approx\)6.7cm

Bài 2:

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACE:

      ADB=AEC=90

      BAC:chung

      AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)

=> \(\Delta\)ABD =\(\Delta\)ACE (Cạnh huyền-góc nhọn)

b) \(\Delta\)ABD =\(\Delta\)ACE (chứng minh trên)=>AD=AE=> \(\Delta\)AED cân tại A

c) Dễ thấy: H là trực tâm của tam giác ABC

    Mà  \(\Delta\)ABC cân tại A 

    Nên H cũng đồng thời là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

    Hay AH là đường trung trực của tam giác ABC

H

Trong \(\Delta ABC\)có: \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180\Rightarrow90+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90\)

Mà: \(\widehat{EBC}< \widehat{ABC};\widehat{ECB}< \widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{EBC}+\widehat{EBC}< \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90\)(1) 

Mặt khác: Trong \(\Delta EBC\)có: \(\widehat{BEC}+\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180\)(2)

Từ (1) và (2), ta có: \(\widehat{BEC}>90\)

<=> BEC là góc tù.

BM: 2x-y+1=0

=>M(x;2x+1)

CN: x+y-4=0

=>C(-y+4;y)

Theo đề, ta có: -y+4+(-2)=2x và y+3=2(2x+1)

=>4x+2-y-3=0 và 2x+y-2=0

=>4x-y-1=0 và 2x+y-2=0

=>x=1/2 và y=1

=>M(1/2;2); C(3;1)

Tọa độ G là:

2x-y+1=0 và x+y-4=0

=>x=1 và y=3

G(1;3); B(x;y); M(1/2;2)

Theo đè, ta có; vecto BG=2/3vecto BM

=>1-x=2/3x và 3-y=2/3(2-y)

=>1-5/3x=0 và 3-y-4/3+2/3y=0

=>x=3/5 và y=5

=>B(3/5;5); A(-2;3); C(3;1)

vecto BA=(-2,6;-2)

=>VTPT là (2;2,6)=(10;13)

Phương trình BA là:

10(x+2)+13(y-3)=0

=>10x+20+13y-39=0

=>10x+13y-19=0

vecto AC=(5;-2)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình AC là:

2(x-3)+5(y-1)=0

=>2x-6+5y-5=0

=>2x+5y-11=0

vecto BC=(2,4;-4)

=>VTPT là (5;3)

Phương trình BC là

5(x-3)+3(y-1)=0

=>5x-15+3y-3=0

=>5x+3y-18=0

Câu 2:

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(OAM\) và \(OBM\) có:

\(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^0\left(gt\right)\)

\(OA=OB\left(gt\right)\)

Cạnh OM chung

=> \(\Delta OAM=\Delta OBM\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> \(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) (2 góc tương ứng).

=> \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat{AOB}.\)

Hay \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Câu 1: Điền từ vào chỗ ....

ABC có góc A=90⁰ ; góc B = 2.góc C.Thì góc B = \(60^0.\)

ABC có AB=AC thì ABC cân tại \(A.\)

ABC có góc A=45⁰ ; góc C = 90⁰ thì ABC vuông cân tại \(C.\)

ABC có AB²+ BC²=AC² thì ABC vuông tại \(B.\)

ABC có AB =AC = 5 cm; BC = \(\sqrt{50}cm\) thì ABC là tam giác vuông cân tại \(A.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 1: 

Sửa đề: Cho ΔABC vuông tại A

a: Xét ΔHAC có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC

hay MN\(\perp\)AB

Xét ΔANB có

AH là đường cao

NM là đường cao

AH cắt NM tại M

DO đó:M là trực tâm của ΔANB

b: Tacó: M là trực tâm của ΔANB

nên BM\(\perp\)AN