a. ĐKXĐ: \(-3\le x\le3\)

\(y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2}}=\dfrac{\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}=0\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên \(\left(-3;\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) và nghịch biến trên \(\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2};3\right)\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(y'=\dfrac{\left(-2x-1\right)\left(x+2\right)+x^2+x+2}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{-x^2-4x}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-4;-2\right)\) và \(\left(-2;0\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-4\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\)

\(f\left(x\right)=x+\sqrt[]{x^2-4}\)

\(f\left(x\right)\) xác định khi và chỉ khi

\(x^2-4\ge0\Leftrightarrow x^2\ge4\Leftrightarrow x\le-2\cup x\ge2\)

Tập xác định : \(D=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)

\(f'\left(x\right)=1+\dfrac{x}{\sqrt[]{x^2-4}}\)

\(f'\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{x}{\sqrt[]{x^2-4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt[]{x^2-4}+x}{\sqrt[]{x^2-4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x^2-4}+x=0\left(x< -2;x>2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\left(1.\sqrt[]{x^2-4}+1.x\right)^2\le2\left(2x^2+4\right)=4\left(x^2+2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow4\left(x^2+2\right)=0\left(vô.lý\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

Tiếp tục bài giải, mình nhấn nút gửi

\(...\Rightarrow f'\left(x\right)>0,\forall x\in D\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn luôn tăng trên tập xác định D.

\(f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\) \(\left(-1\le x\le1\right)\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\)\(=\dfrac{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

Xét dấu \(f'\left(x\right)\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(-1;0\right)\) và nghịch biến trên \(\left(0,1\right)\)

\(f'\left(x\right)=2-2cos2x\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\)

cả nhà giúp mình với mai minh kiểm tra chất lượng rồi. Thanks all.

a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1\)

Ta có:       \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1\)

                   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)\).

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).

b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.

\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3\)

Ta có:       \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3\)

                   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số không liên tục tại điểm \(x = 1\).