Bài 1:

Gọi M là trung điểm của BC

Vẽ BE là tia phân giác của góc B, E  thuộc AC

nối M với E

ta có: BM =CM  = 1/2.BC ( tính chất trung điểm)

AB=1/2.BC (gt)

=> BM = CM=  AB ( =1/2.BC)

Xét tam giác ABE và tam giác MBE

có: AB = MB (chứng minh trên)

góc ABE = góc MBE (gt)

BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta MBE\left(c-g-c\right)\)

=> góc BAE = góc BME = 90 độ ( 2 cạnh tương ứng)

=> góc BME = 90 độ

\(\Rightarrow BC\perp AM⋮M\)

Xét tam giác BEM vuông tại M và tam giác CEM vuông tại M

có: BM=CM(gt)

EM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BEM=\Delta CEM\left(cgv-cgv\right)\)

=> góc EBM = góc ECM ( 2 cạnh tương ứng)

mà góc EBM = góc ABE = 1/2. góc B (gt)

=> góc EBM = góc ABE = góc ECM

Xét tam giác ABC vuông tại A
có: \(\widehat{B}+\widehat{ECM}=90^0\) ( 2 góc phụ nhau)

=> góc EBM + góc ABE + góc ECM = 90 độ

=> góc ECM + góc ECM + góc ECM = 90 độ

=> 3.góc ECM = 90 độ

góc ECM = 90 độ : 3

góc ECM = 30 độ

=> góc C = 30 độ

a) Nếu \(\Delta A'B'C' = \Delta ABC\) thì tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\). Vì hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.

Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 1\end{array} \right.\). Vậy \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC\) và tỉ số đồng dạng là 1.

b) Vì \(\Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng là \(k\) nên tỉ số đồng dạng là: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k\).

Khi đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\) đồng dạng với tỉ số đồng dạng là: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{k}\).

Vậy \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\)theo tỉ số \(\frac{1}{k}\).

a)Vì M là trung điểm BC (gt)

=> MB = MC

Xét △AMB và △AMC có

AB=AC (gt)

AM : cạnh chung

MB=MC (cmt)

=> △AMB = △AMC (c.c.c)

b) Vì △ABC cân tại A (AB=AC) có AM là trung tuyến

=> AM là đường cao 

=> AM ⊥ BC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(2,2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-5,-1\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-3,1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\\BC=\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(-1\right)^1}=\sqrt{26}\\AC=\sqrt{\left(-3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(p=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{26}+\sqrt{10}}{2}\)

Áp dụng công thức Herong:

\(S=\sqrt{p.\left(p-2\sqrt{2}\right)\left(p-\sqrt{26}\right)\left(p-\sqrt{10}\right)}=\sqrt{16}=4\)

Lời giải:

Kéo dài $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Kẻ $KK'\perp d$

Trên $BG$ lấy trung điểm $I$. Kẻ $II'\perp d$

Vận dụng công thức đường trung bình trong hình thang ta có:

Xét hình thang $BGG'B'$ có đtb $II'$ thì:

$II'=\frac{BB'+GG'}{2}(1)$

Xét hình thang $AA'C'C$ có đường trung bình $KK'$ thì:

$KK'=\frac{AA'+CC'}{2}(2)$

Xét hình thang $II'KK'$ có đường trung bình $GG'$ thì:

$GG'=\frac{II'+KK'}{2}(3)$

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra:

$GG'=\frac{BB'+GG'+AA'+CC'}{4}$

$\Rightarrow GG'=\frac{AA'+BB'+CC'}{3}$ 

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

a: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tạiN có

góc A chung

=>ΔAMB đồng dạng vơi ΔANC

=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AB*AN; AM/AB=AN/AC

b: Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC
góc A chung

=>ΔAMN đồng dạng với ΔABC

=>góc AMN=góc ABC

\(\widehat{B}+\widehat{C}=140^0\)

\(\Leftrightarrow4\cdot\widehat{C}=140^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=35^0\)

hay \(\widehat{B}=105^0\)

Vậy:  ΔABC tù

Câu 3: 

Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC

\(\widehat{A}\) chung

DO đó:  ΔAMN\(\sim\)ΔABC

AH: 2x+5y+3=0

=>BC: 5x-2y+c=0

Thay x=3 và y=5 vào BC, ta được:

c+15-10=0

=>c=-5

=>5x-2y-5=0

Tọa độ C là:

5x-2y-5=0 và x+y-5=0

=>5x-2y=5 và x+y=5

=>x=15/7 và y=20/7

=>C(15/7;20/7)

AH: 2x+5y+3=0

=>A(x;-2/5x-3/5)

CM: x+y-5=0

=>M(-y+5;y)

Theo đề, ta có: x+3=2(-y+5) và -2/5x-3/5+5=2y

=>x+3+2y=10 và -2/5x+17/5-2y=0

=>x+2y=7 và -2/5x-2y=-17/5

=>x=6 và y=1/2

=>A(6;-3); B(3;5); C(15/7;20/7)

vecto AB=(-3;8)

=>VTPT là (8;3)

=>Phương trình AB là:

8(x-3)+3(y-5)=0

=>8x-24+3y-15=0

=>8x+3y-39=0

A(6;-3); C(15/7;20/7)

vecto AC=(-20/7;41/7)

=>VTPT là (41/7;20/7)

Phương trình AC là:

41/7(x-6)+20/7(y+3)=0

=>41(x-6)+20(y+3)=0

=>41x-246+20y+60=0

=>41x+20y-186=0