Xét (O) có 

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ACK}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AK}\)

\(sđ\stackrel\frown{AK}=180^0\)(AK là đường kính)

Do đó: \(\widehat{ACK}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có 

\(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔACK(g-g)

Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: CD ⊥ AB.

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE ⊥ AC.

Xét (O) có 

\(\widehat{EAB}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

\(\widehat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

Do đó: \(\widehat{EAB}=\widehat{BCE}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)

Xét ΔDAB vuông tại D và ΔDCE vuông tại D có 

\(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)(cmt)

Do đó: ΔDAB\(\sim\)ΔDCE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow DA\cdot DE=DB\cdot DC\)(đpcm)

a, Ta có: $HM⊥AB;HN⊥AC$

$⇒\widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^o$

$⇒\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)
b, Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$
Đường cao $HM$ (do $HM⊥AB$)

Nên $AH^2=AM.AB(1)$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$
Đường cao $HN$ (do $HN⊥AB$)

Nên $AH^2=AN.AC(2)$

Từ $(1)(2)⇒AM.AB=AN.AC$
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét tam giác $AMN$ và tam giác $ACB$ có:

$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
$\widehat{A}$ chung

$⇒$  tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB(c.g.c)$

(đpcm)

c,  tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB$

$⇒\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

Xét $(O)$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Nên $\widehat{ANM}=\widehat{AEC}$

Hay  $\widehat{ANI}=\widehat{IEC}$

$⇒$ Tứ giác $CEIN$ nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)

c, Ta có: $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{AKC}=180^o$

do tứ giác $ABCK$ nội tiếp $(O)$

Nên $\widehat{ANM}+\widehat{AKC}=180^o$

Mà $\widehat{ANM}+\widehat{ANK}=180^o$

Nên $\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$

Xét tam giác $AKC$ và tam giác $ANK$ có:

$\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$

$\widehat{A}$ chung

nên  tam giác $AKC$ $\backsim$ tam giác $ANK(g.g)$

$⇒\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{AC}{AK}$

$⇒AK^2=AN.AC$

mà $AH^2=AN.AC(cmt)$

$⇒AK^2=AH^2$

hay $AK=AH$

suy ra tam giác $AHK$ cân tại $A$

Nguyễn Lê Phước Thịnh

Akai Haruma     Trần Đức Mạnh  Nguyễn Việt Lâm

Giup mik voi mn

a: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>CD vuông góc AB, BE vuông góc AC

góc ADH+góc AEH=180 độ

=>ADHE nội tiếp

a:Xét tứ giác AFDC có

góc AFC=góc ADC=90 độ

Do đó: AFDC là tứ giác nội tiếp

b: Gọi AG là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔACG nội tiếp

AG là đường kính

Do đo: ΔACG vuông tại C

Xét ΔACG vuông tại C và ΔADB vuông tại D có

góc AGC=góc ABD

Do đó: ΔACG đồng dạng với ΔADB

=>AC/AD=AG/AB

=>AB*AC=AG*AD

a: góc AEB=góc ADB=90 độ

=>AEDB nội tiếp

b,c: M ở đâu vậy bạn?