Do \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MA}\) nên tứ giác NPAM là hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{NM}\). (1)
Mà \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}\) suy ra \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AD}\) . (2)
Mặt khác \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành). (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra:\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BC}\).
Mà \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}\).
Vì vậy hai điểm A và Q trùng nhau nên \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\).

Bài 1:

Gọi K là trung điểm của BC

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔCAB có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OK là đường trung bình

=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)

=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

=>M trùng với B

Bài 2:

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và MP=BC/2

=>MP=CN

mà MP//NC

nên MPCN là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)

=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

nên K trùng với P

Câu 1: A

$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$

Câu 2:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

Đáp án A.

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O.

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.

Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.

Do đó: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE} \).

Dễ thấy: \(AE = BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Chú ý khi giải

+) Dựng hình hình hành sao cho đường chéo là vecto cần biểu thị, 2 cạnh của nó song song với giá của hai vecto đang biểu thị theo.

a)  ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

\(= \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}} \right)\)

\(= \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) (Vì \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {0} \))