§2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có = 

Như vậy  + =  +  =  ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ  chính là vec tơ tổng của   và 

 =  +  .

Ta lại có  –  =  + (- )

  –    =  +  (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

 + =  +  =  (quy tắc 3 điểm)

Vậy  –  = 

Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

 =  + 

 =  + 

=>  +  =  ++ ( +)

ABCD là hình bình hành, hi vec tơ  và  là hai vec tơ đối nhau nên:

 + = 

Suy ra   +  =  + .

Mình có cách khác :

Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

=  – 

 =  – 

=>  + =  ( +) – ( +).

ABCD là hình bình hành nên  và  là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

 + = 

Suy ra:   +  =  + .

Ta xét tổng:

 +  + +  + +  =  =                      (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

  = 

 = 

 = 

=>  ++ =  +  + =  =                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra :  +  + =  (dpcm)

Ta xét tổng:

+ + + + + = = (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

=

=

=

=> ++ = + + = = (2)

Từ (1) và (2) suy ra : + + = (dpcm)

Ta có  +  = 

 =  = a

Ta có:  –  =  +.

Trên tia CB, ta dựng  = 

=>  –  =  + = 

Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3

Vậy  =  = a√3

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:

 =  –      (1)

Mặt khác,         =                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 =  – .

b) Ta có :  =  –                  (1)

 =                              (2)

Từ (1) và (2) cho ta:

 =  – .

c) Ta có :

 –  =            (1)

 –  =             (2)

 =                         (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.

d)  –   +  = (  – ) +  =  + =  +  ( vì  = ) = 

) Ta có   =  + 

Nếu coi hình bình hành ABCd có  =  =  và  =  =  thì   là độ dài đường chéo AC và  = AB; = BC.

Ta lại có: AC = AB + BC

Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C.

Vậy   =  +  khi hai vectơ ,  cùng hướng.

b) Tương tự,  là độ dài đường chéo AC

 là độ dài đường chéo BD

 = => AC = BD.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD  AB hay   

Từ  = 0, ta có  +  = 0    =>  = –

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài  = , cùng phương và ngược hướng

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho   =  thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có  =  + ;

 = + 

Vì  =  nên  +  =  + 

=>  –  =  – 

=>  +  =  +               (1)

Vì I là trung điểm của AD nên   +  =                (2)

Từ (1) và (2) suy ra  +  =                                (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh  = .

I là trung điểm của AD    =>   +  =    =>  –  =

I là trung điểm của BC    =>  +  =     =>   – = 

Suy ra   –  =   – 

=>  +  =  +     =>   = (đpcm)

 = 100√3 và  ngược hướng với hướng  với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành MACB