Hàm số \(y=\left(|m-2|-4\right)x^2\) có dạng: \(y=ax^2\)

với \(a=|m-2|-4\)

 \(a=|m-2|-4>0\Leftrightarrow|m-2|>4\)

\(\Rightarrow m>6\)hoặc \(m< -2\)

b,Hàm số \(y=\left(|m-2|-4\right)x^2\) nghịch biến trong khoảng \(\left(0;+\infty\right)\Leftrightarrow|m-2|-4< 0\)

\(|m-2|-4< 0\Leftrightarrow|m-2|< 4\)

\(\Rightarrow-2< m< 6\)

Lời giải:
$2\cos ^22x+5\cos 2x-3=0$

$\Leftrightarrow (2\cos 2x-1)(\cos 2x+3)=0$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x-1=0$ (chọn) hoặc $\cos 2x=-3$ (loại)

Vậy $2\cos 2x-1=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x=\frac{\pm \pi}{3}+2k\pi$ với $k$ nguyên 

Để nghiệm trong khoảng $(0;2\pi)$ thì $k=0$ với họ nghiệm $(1)$ và $k=1$ với họ nghiệm $(2)$

Vậy nghiệm của pt thỏa đề là:

$x=\frac{\pi}{3}; x=\frac{5}{3}\pi$

Tổng nghiệm: $\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=2\pi$

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(sin^2x+cos^2x-sinx.cosx\right)=4\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-sinx.cosx\right)-4\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(-3-\frac{1}{2}sin2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx+sinx=0\\sin2x=-6\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cosx=-sinx=cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)

\(\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}-x+k2\pi\)

\(\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

\(0\le-\frac{\pi}{4}+k\pi\le\pi\Rightarrow k=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}\)

Tham khảo:

b: 

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (\sin 2x-\cos 2x)(4\sin 2x+\cos 2x)=0$

$\Rightarrow \sin 2x=\cos 2x$ hoặc $4\sin 2x+\cos 2x=0$

Nếu $\sin 2x=\cos 2x$. Kết hợp với $\sin ^22x+\cos ^22x=1$ suy ra $\sin 2x=\cos 2x=\frac{\pm}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ với $k$ nguyên

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{\pi}{8}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{8}$

Nếu $4\sin 2x+\cos 2x=0$

$\Rightarrow \tan 2x=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}k\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4};\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vậy có $4$ nghiệm thỏa mãn.

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (\sin 2x-\cos 2x)(4\sin 2x+\cos 2x)=0$

$\Rightarrow \sin 2x=\cos 2x$ hoặc $4\sin 2x+\cos 2x=0$

Nếu $\sin 2x=\cos 2x$. Kết hợp với $\sin ^22x+\cos ^22x=1$ suy ra $\sin 2x=\cos 2x=\frac{\pm}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ với $k$ nguyên

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{\pi}{8}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{8}$

Nếu $4\sin 2x+\cos 2x=0$

$\Rightarrow \tan 2x=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}k\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4};\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vậy có $4$ nghiệm thỏa mãn.

Tham khảo: