Question

Phương trình : \(4sin^22x-3sin2x.cos2x-cos^22x=0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left(0;\pi\right)\) ?

Answer 1

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (\sin 2x-\cos 2x)(4\sin 2x+\cos 2x)=0$

$\Rightarrow \sin 2x=\cos 2x$ hoặc $4\sin 2x+\cos 2x=0$

Nếu $\sin 2x=\cos 2x$. Kết hợp với $\sin ^22x+\cos ^22x=1$ suy ra $\sin 2x=\cos 2x=\frac{\pm}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ với $k$ nguyên

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{\pi}{8}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{8}$

Nếu $4\sin 2x+\cos 2x=0$

$\Rightarrow \tan 2x=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}k\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4};\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vậy có $4$ nghiệm thỏa mãn.

Answer 2

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow (\sin 2x-\cos 2x)(4\sin 2x+\cos 2x)=0$

$\Rightarrow \sin 2x=\cos 2x$ hoặc $4\sin 2x+\cos 2x=0$

Nếu $\sin 2x=\cos 2x$. Kết hợp với $\sin ^22x+\cos ^22x=1$ suy ra $\sin 2x=\cos 2x=\frac{\pm}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ với $k$ nguyên

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{\pi}{8}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{8}$

Nếu $4\sin 2x+\cos 2x=0$

$\Rightarrow \tan 2x=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}k\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vì $x\in (0;\pi)$ nên $x=\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4};\pi +\frac{1}{2}\tan ^{-1}\frac{-1}{4}$

Vậy có $4$ nghiệm thỏa mãn.