Gọi \(d=\text{ƯCLN}\left(n+1;2n+3\right)\) \((d\in\mathbb{N}^*)\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Mà \(d\in\mathbb{N}^*\) nên \(d=1\Rightarrow\text{ƯCLN}\left(n+1;2n+3\right)=1\)

hay \(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

$\text{#}Toru$

Gọi d=ƯCLN(n+1;2n+3)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(2n+2-2n-3⋮d\)

=>\(-1⋮d\)

=>d=1

=>ƯCLN(n+1;2n+3)=1

=>\(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

a.

Do C là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{BC}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\) (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C (1)

Lại có AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại C

b.

Do O là trung điểm AB và tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow CO\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao

\(\Rightarrow CO\perp AB\) 

\(\Rightarrow\widehat{COA}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\Rightarrow O,H\) cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên AOHC nội tiếp

c.

Do AOHC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{OAH}\) (cùng chắn OH)

Mà \(\widehat{OAH}=\widehat{BCM}\) (cùng chắn BM của (O))

\(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{BCM}\) (3)

Cũng do AOHC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{CAH}\) (cùng chắn CH) 

Lại có \(\widehat{CAH}=\widehat{CBM}\) (cùng chắn CM của (O))

\(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{CBM}\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow\Delta OCH\sim\Delta BCM\left(g.g\right)\)

d.

EI vuông góc BC \(\Rightarrow I,H\) cùng nhìn CE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow CIHE\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ECI}+\widehat{IHE}=180^0\) (5)

\(\Delta ABC\) cân tại C theo cm câu a \(\Rightarrow CO\) vừa là trung tuyến vừa là phân giác

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{ACO}\)

Theo câu b, AOCH nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{AHO}\) (cùng chắn AO)

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{AHO}\) (6)

(5);(6) \(\Rightarrow\widehat{EHI}+\widehat{AHO}=180^0\)

\(\Rightarrow O,H,I\) thẳng hàng