Gọi \(d=\text{ƯCLN}\left(n+1;2n+3\right)\) \((d\in\mathbb{N}^*)\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Mà \(d\in\mathbb{N}^*\) nên \(d=1\Rightarrow\text{ƯCLN}\left(n+1;2n+3\right)=1\)

hay \(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

$\text{#}Toru$

Gọi d=ƯCLN(n+1;2n+3)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(2n+2-2n-3⋮d\)

=>\(-1⋮d\)

=>d=1

=>ƯCLN(n+1;2n+3)=1

=>\(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản

a.

Do C là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{BC}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{CBA}\) (hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C (1)

Lại có AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại C

b.

Do O là trung điểm AB và tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow CO\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao

\(\Rightarrow CO\perp AB\) 

\(\Rightarrow\widehat{COA}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\Rightarrow O,H\) cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên AOHC nội tiếp

c.

Do AOHC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{OAH}\) (cùng chắn OH)

Mà \(\widehat{OAH}=\widehat{BCM}\) (cùng chắn BM của (O))

\(\Rightarrow\widehat{OCH}=\widehat{BCM}\) (3)

Cũng do AOHC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{CAH}\) (cùng chắn CH) 

Lại có \(\widehat{CAH}=\widehat{CBM}\) (cùng chắn CM của (O))

\(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{CBM}\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow\Delta OCH\sim\Delta BCM\left(g.g\right)\)

d.

EI vuông góc BC \(\Rightarrow I,H\) cùng nhìn CE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow CIHE\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ECI}+\widehat{IHE}=180^0\) (5)

\(\Delta ABC\) cân tại C theo cm câu a \(\Rightarrow CO\) vừa là trung tuyến vừa là phân giác

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{ACO}\)

Theo câu b, AOCH nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{AHO}\) (cùng chắn AO)

\(\Rightarrow\widehat{ECI}=\widehat{AHO}\) (6)

(5);(6) \(\Rightarrow\widehat{EHI}+\widehat{AHO}=180^0\)

\(\Rightarrow O,H,I\) thẳng hàng

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)-3xy\left(x+y\right)-4xy=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-xy\left(3\left(x+y\right)+4\right)=1\)

\(\Leftrightarrow27\left(x+y\right)^3+64-27xy\left(3\left(x+y\right)+4\right)=91\)

\(\Leftrightarrow\left[3\left(x+y\right)+4\right]\left[9\left(x+y\right)^2-12\left(x+y\right)+16\right]-27xy\left[3\left(x+y\right)+4\right]=91\)

\(\Leftrightarrow\left[3\left(x+y\right)+4\right]\left[9\left(x+y\right)^2-12\left(x+y\right)+16-27xy\right]=91\)

Do \(9\left(x+y\right)^2-12xy+16-27xy=\dfrac{1}{2}\left[3\left(x-y\right)^2+\left(3x-4\right)^2+\left(3y-4\right)^2\right]\ge0\)

Nên ta chỉ cần xét các cặp ước dương của 91 (4 cặp)

Nhìn dài dài nên đến khúc này em tự giải :D

Bài này ngoài cách tách nhân tử còn 1 cách khác (do hệ số nhỏ nên áp dụng được).

Pt \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=4xy+1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\in Z\\xy=b\in Z\end{matrix}\right.\) với \(a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow a^3-3ab=4b+1\Leftrightarrow a^3-1=b\left(3a+4\right)\)

\(\Leftrightarrow b=\dfrac{a^3-1}{3a+4}\)

Do b nguyên nên 27b nguyên \(\Rightarrow\dfrac{27\left(a^3-1\right)}{3a+4}\in Z\)

\(\Rightarrow9a^2-12a+16-\dfrac{91}{3a+4}\in Z\)

\(\Rightarrow3a+4=Ư\left(91\right)\)

Tới đây đơn giản

Gọi vận tốc xe tải là x (km/h) với x>0

Do mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 10km nên vận tốc xe khách là \(x+10\) (km/h)

Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB: \(\dfrac{240}{x}\) giờ

Thời gian xe khách đi hết quãng đường AB: \(\dfrac{240}{x+10}\) giờ

Do xe khách đến sớm hơn xe tải 48 phút =4/5 giờ nên ta có pt:

\(\dfrac{240}{x}-\dfrac{240}{x+10}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow300\left(x+10\right)-300x=x\left(x+10\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x-3000=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50\\x=-60\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc xe tải là 50km/h, vận tốc xe khách là \(50+10=60\) (km/h)