Ta có:\(A=n^3+11n=n^3-n+12n\)

=\(n\left(n^2-1\right)+12n\)

Lại có: \(n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\).

Mà \(12n⋮6\) \(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)\(⋮6\)

\(\Rightarrow A=n^3+11n⋮6\left(đpcm\right)\)

ko cần nữa nh tui nhầm bài OK

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

n⁴ +6n³ + 11n² + 6n

= n ( n³ + 2n² + 4n² + 8n + 3n + 6)

= n (n+2)(n² + 4n + 3)

=n(n+2)(n+1)(n+3) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3.

Mà (3;8) = 1 => n⁴ +6n³ + 11n² + 6n chia hết cho 24

Ta có :

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n\)

\(=n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+4n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left[n^2\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\right]\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+1\right)\left(n^2+3n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp .

Nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\)

\(\Rightarrow n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\) ( đpcm )

a) Do n, n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 2.

Nếu \(n⋮3\Rightarrow\) tích trên chia hết cho 3. Do (2;3) = 1 nên tích trên chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 hay 2n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Tóm lại với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

b. Ta đặt \(A=n^5-5n^3+4n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\)

Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5.

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra A chia hết cho 8.

Lại thấy (3; 5; ;8) = 1 nê A chia hết cho 3.5.8 = 120.

c) \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

B là tích bốn số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra B chia hết cho 8.

Mà (3;8) = 1 nên B chia hết 3.8 = 24.

a)\(2^k>2k+1\left(1\right)\)

Với n=3, ta có:\(VT=8;VP=7\), nên (1) đúng nới n=3

Giả sử (1) đúng với \(k=n\), tức là \(2^n>2n+1\left(n\in N\text{*};n\ge3\right)\)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(k=n+1\) tức là phải chứng minh \(2^{n+1}>2\left(n+1\right)+1\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\(2^{n+1}=2\cdot2^n>2\left(2n+1\right)=4n+2=2n+3+\left(2n-1\right)>2n+3\), do \(\left(n\in N\text{*},n\ge3\right)\)

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên \(k\ge3\)

b)\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)

\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)

\(=n\left[\left(n^3+n^2\right)+\left(5n^2+5n\right)+\left(6n+6\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)

Mà \(120⋮24\) =>Đpcm