ta có U6+U8=2U1+12d=-18

\(U^2_3+U^2_5=2U^2_1+12Ud+12d^2=-26\)

từ đó bằng phương pháp giải hệ 2 pt trên là ra

chỉ cần kết quả cuối cùng của u và d ? Ai biết xin giúp em với? Please!

Đã giải dc! (cảm ơn sự giúp đỡ của Đặng Yến Linh)

Result:

\(\begin{cases}u_6+u_8=-18\\u_3^2+u_5^2=26\end{cases}\)

\(\rightarrow\begin{cases}2u_1+12d=-18\rightarrow u_1=-9-6d\\\left(u_1+12d\right)^2+\left(u_1+4d\right)^2=26\end{cases}\)

\(\rightarrow\begin{cases}u_1=-9-6d\\\left(-9-6d+12d\right)^2+\left(-9-6d+4d\right)^2=26\end{cases}\)​

\(​\rightarrow{\begin{cases}d_1=...\\d_2=...\end{cases}\rightarrow {\begin{cases}x_1=...\\x_2=...\end{cases}}}\)

\(u_n-4u_{n-1}+3u_{n-2}=5.2^n\)

\(\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}-3\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)=5.2^n\)

Đặt \(u_n-u_{n-1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-u_0=4\\v_n-3v_{n-1}=5.2^n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n+10.2^n=3\left(v_{n-1}+10.2^{n-1}\right)\)

Đặt \(v_n+10.2^n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=v_1+10.2^1=24\\x_n=3x_{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội 3

\(\Rightarrow x_n=24.3^{n-1}\)

\(\Rightarrow v_n=x_n-10.2^n=24.3^{n-1}-10.2^n=8.3^n-10.2^n\)

\(\Rightarrow u_n-u_{n-1}=8.3^n-10.2^n\)

\(\Rightarrow u_n-12.3^n+20.2^n=u_{n-1}-12.3^{n-1}+20.2^{n-1}\)

Đặt \(u_n-12.3^n+20.2^n=y_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=u_1-12.3^1+20.2^1=7\\y_n=y_{n-1}=...=y_1=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_n=12.3^n-20.2^n+7\)

Thầy nghĩ câu này tính d thôi chứ nhỉ?

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d =  - 3\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).

Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} =  - 12\).

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} =  - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).

\(u_{n+1}=\dfrac{n\left(u_n+2\right)+n^2+1}{n+1}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=nu_n+n^2+2n+1\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

Đặt \(v_n=u.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=0\\v_{n+1}=v_n=...=v_1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=0\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^2+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{6}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)