Lời giải:Đặt $x^2=t$ thì PT ban đầu trở thành:

$t^2-(3m+1)t+6m-2=0 (1)$Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì $(1)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} \Delta=(3m+1)^2-4(6m-2)>0\\ S=3m+1>0\\ P=6m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq 1; m>\frac{1}{3}\)

Khi đó, 4 nghiệm phân biệt là:

$x_1=\sqrt{t_1}; x_2=-\sqrt{t_1}; x_3=\sqrt{t_2}; x_4=-\sqrt{t_2}$

Hiển nhiên $x_1, x_3>-4$ 

Giờ ta cần $-\sqrt{t_1}; -\sqrt{t_2}>-4$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_1}, \sqrt{t_2}< 4$

$\Rightarrow t_1, t_2< 16$. Điều này xảy ra khi:

\(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2<32\\ (t_1-16)(t_2-16)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1+t_2< 32\\ t_1t_2-16(t_1+t_2)+256>0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 3m+1<32\\ 238-42m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \frac{17}{3}\)

Vậy \(m\in (\frac{1}{3}; \frac{17}{3}); m\neq 1\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-12m>0\\x_1^2+x_2^2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(2m-3\right)^2-2\left(m^2-4\right)< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\2m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \dfrac{25}{12}\)

3.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=11-m>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 11\\6>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2< m< 11\)

\(a)\) Ta có : \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-3\right)=m^2-4m+12=\left(m^2-4m+4\right)+8=\left(m-2\right)^2+8>0\)

Vậy pt (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m 

\(b)\) Có \(x_1^2+x_2^2=5\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\) (*) 

Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-3\end{cases}}\)

(*) \(\Leftrightarrow\)\(m^2-2\left(m-3\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\)\(m^2-2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(m=1\)

Vậy để \(x_1^2+x_2^2=5\) thì \(m=1\)

\(c)\)......... -_- 

Theo hệ thức Vi et( ý b)  \(\hept{\begin{cases}X_1+X_2=m\\X_1.X_2=m-3\end{cases}\Rightarrow}X_1.X_2=X_1+X_2-3\)(thế \(X_1+X_2=m\)vô phương trình dưới)

Vậy hệ thức liên hệ giữa X1 X2 không chứa m là \(X_1X_2=X_1 +X_2-3\)

Đây là toán lớp 10 chứ ko phải lớp 9. Lớp 9 chưa học dạng tam thức bậc 2 có dấu ">" như thế này

Pt có 2 nghiệm cùng lớn hơn 1 khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m+1\right)^2-4m\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>1\\f\left(1\right)=1-2\left(m+1\right)+4m>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)^2\ge0\\m+1>1\\2m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

a) \(\left(x+1\right)^4+\left(x+3\right)^4=2m\left(1\right)\)

Đặt \(x+2=t\)

Khi đó phương trình \(\left(1\right)\) trở thành \(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=2m\)

\(\Leftrightarrow2t^4+12t^2-2m+2=0\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-m+1=0\left(2\right)\)

Đặt \(t^2=u\left(u\ge0\right)\)

Khi đó phương trình \(\left(2\right)\) trở thành \(u^2+6u-m+1=0\left(3\right)\)

Thay \(m=1\) vào \(\left(3\right)\) ta có:

\(u^2+6u-1+1=0\Leftrightarrow u^2+6u=0\Leftrightarrow u\left(u+6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=0\\u+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=0\left(\text{nhận}\right)\\y=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy với \(m=1\) thì phương trình có nghiệm là \(x=-2\).

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(3\right)\) trái dấu \(\Leftrightarrow-m+1< 0\Leftrightarrow m>1\)

Vậy với \(m>1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

2.

a. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5m+4\ge0\\x_1x_2=5m-4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le1\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\\dfrac{4}{5}< m\le1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1+x_2=2m>2.\dfrac{4}{5}>0\) nên 2 nghiệm cùng dương

b. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=m^2-12m\ge0\\x_1x_2=\dfrac{3}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge12\\m\le0\end{matrix}\right.\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge12\)

Khi đó \(x_1+x_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm cùng âm