Lời giải:Điểm M,N có vẻ không có vai trò gì trong bài toán. 

Ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2,-1)$

$\overrightarrow{u_{d'}}=(a,b)$

\(\cos (\Delta, d')=\frac{\overrightarrow{u_{\Delta}}.\overrightarrow{u_d'}}{|\overrightarrow{u_{\Delta}}||\overrightarrow{u_d'}|}=\frac{2a-b}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{5}}=\cos 45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

$\Rightarrow a=3b$ hoặc $a=-\frac{b}{3}$

PTĐT $d'$ là:

$-x+3y=0$ hoặc $3x+y=0$

a: Δ có vtcp là (2;-1) và đi qua A(1;-3)

=>VTPT là (1;2)

PTTQ là:

1(x-1)+2(y+3)=0

=>x-1+2y+6=0

=>x+2y+5=0

b: Vì d vuông góc Δ nên d: 2x-y+c=0

Tọa độ giao của d1 và d2 là:

x+2y=8 và x-2y=0

=>x=4 và y=2

Thay x=4 và y=2 vào 2x-y+c=0, ta được

c+2*4-2=0

=>c=-2

a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ; vectơ (0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của (Oxy), khi đó và ( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

= (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0

hay 2x - y - 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

Điểm M₀( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương của ∆ vuông góc với và vuông góc với , vậy có thể lấy = (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

.

Chú ý :

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Chẳng hạn lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của

M₁ trên (Oxy) là N₁ (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oxy) là N₂(0 ; -7 ; 0).

Đườn thẳng ∆ qua N₁, N­₂ chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy).

Ta có : (-2 ; -4 ; 0) // (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

.

b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.

lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của

M₁ trên (Oxy) là M'₁ (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'₁, M­₂ chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).

Ta có: (0 ; -4 ; -6) // (0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'₁M­₂ có dạng:

.

Để tìm phương trình đường thẳng Δm, ta thay các giá trị của x, y, z vào phương trình của Δm:

x = 1 - m + (m - 1)t
y = 3 - m + (m + 1)t
z = m - mt

Thay A(5, 3, 1) vào phương trình của Δm:

5 = 1 - m + (m - 1)t
3 = 3 - m + (m + 1)t
1 = m - mt

Từ đó, ta có hệ phương trình:

4 = (m - 1)t
0 = 2t
-4 = 2mt

Giải hệ phương trình này, ta được t = 0 và m = 1.

Thay t = 0 và m = 1 vào phương trình của Δm, ta có:

x = 1 - 1 + (1 - 1) * 0 = 0
y = 3 - 1 + (1 + 1) * 0 = 2
z = 1 - 1 * 0 = 1

Vậy phương trình đường thẳng Δm là:

x = 0
y = 2
z = 1

Do đó, đáp án là A.

\(\Delta\) có vecto chỉ phương \(\vec{u_{CP}}=\left(-2;9\right)\)

Phương trình tổng quát đường thẳng d:

\(-2\left(x+5\right)+9\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-9y+37=0\)

a) Đường thẳng d đi qua M₁( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương (2 ; 3 ; 4).

Đường thẳng d' đi qua M₂( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương (1 ; -4 ; 1).

Ta có = (19 ; 2 ; -11) ; = (8 ; 1 ; 14)

và = (19.8 + 2 - 11.4) = 0

nên d và d' cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy , không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.

b) Ta có : (1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và (2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy và cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M d' nên d và d' song song.

Chọn A

Gọi \(M\left(2+2t;3+t\right)\)

M có tọa độ nguyên \(\Leftrightarrow t\) nguyên

\(\overrightarrow{AM}=\left(2+2t;2+t\right)\) \(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(2+2t\right)^2+\left(2+t\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow5t^2+12t-17=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\dfrac{17}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\left(4;4\right)\)