Có:\(\left(b+c\right)^2=\left(b+c\right)^2\cdot\left(a+b+c\right)^2\)

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\);

\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\);

Nhân theo vế 2 bđt trên ta có:

\(\left(b+c\right)^2\cdot\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\cdot4bc\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\ge16abc\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge16abc\)(chia cả 2 vế cho b+c) (đpcm)

Dấu ''='' xảy ra khi: \(a=\dfrac{1}{2};b=c=\dfrac{1}{4}\)

\(a+b+c=1\\ \Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\\ \left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\\ \Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\\ \Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge16abc\)

Áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

1 = (a + b+ c)^2 >= 4a(b + c)
<=> b +c >= 4a(b + c)^2
Mà (b + c)^2 >= 4bc
Vậy b + c >= 4a.4bc = 16abc

ta có a>0,b+c>0

áp dụng Bất đẳng thức cosi ta có:

a+b+c>=2nhân với căn của a.(b+c)

=>(a+b+c)^2=4.a.(b+c)

Áp dụng BĐT cô-si, ta có

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right);\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

Nhân từng vế, ta có \(\left(a+b+c\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right).4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\left(ĐPCM\right)\)

dấu = xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

^_^

Câu trả lời hay nhất:  áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm có 
1 = (a + b+ c)^2 >= 4a(b + c) 
<=> b +c >= 4a(b + c)^2 
Mà (b + c)^2 >= 4bc 
Vậy b + c >= 4a.4bc = 16abc

p/s:kham khảo

Áp dụng: (a+b)^2 >= 4ab (note: x^y là x mũ y) 
Có [a+(b+c)]2 >= 4a(b+c) do a+b+c=1 
suy ra 1 >= 4a(b+c) 
do b,c không âm, nhân 2 vế với (b+c) được: 
b+c >= 4a(b+c)^2, lại có 4a(b+c)^2 >=16abc 
theo tc bắc cầu: b+c >= 16abc 
Dấu bằng xảy ra khi: a=b+c và b=c, với gt a+b+c=1 ==> a=1/2, b=1/4, c=1/4 (ĐPCM)

đều đúng hết

p/s:kham khảo

Áp dụng bđt coossi ta dduowcj : \(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu = xảy ra khi a=b+c và b=c và a+b+c=1=>a=1/2;b=c=1/4

tại sao lại ra thế hả bạn

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\Rightarrow4a\left(b+c\right)\le1\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a.4bc=16abc\)

\(\Rightarrow16abc-b-c\le0\)

\(\Rightarrow P_{max}=0\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\)

Ta có \(1=a+b+c\ge a+b\Rightarrow a\le1-b\)

\(Q=16ab-b-c\le16ab-b\le16\left(1-b\right)b-b\)

\(Q\le-16b^2+15b=\frac{225}{64}-16\left(b-\frac{15}{32}\right)^2\le\frac{225}{64}\)

\(Q_{max}=\frac{225}{64}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{17}{32};\frac{15}{32};0\right)\)

\(\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2=\left(b+c\right)\left(a+\left(b+c\right)\right)^2\ge2\sqrt{bc}.4a\left(b+c\right)\)

\(\ge8\sqrt{bc}.a.2\sqrt{bc}\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra bạn tự kiếm nhé

u trả lời hay nhất:  ta có (b+c)^2/4>=bc =>16abc=<16a(b+c)^2/4=4a(b+c) =4a (1-a)^2 =4a (1-a)(1-a) =(4a-4a^2)(1-a) 
=(1-a) (1- (2a-1)^2) 
Vì (2a-1)^2 >= 0 nên 1- (2a-1)^2 =< 1 suy ra (1-a) (1- (2a-1)^2) =<b+c 
Vậy 16abc=< b+c

p/s :kham khảo

Bạn tham khảo thêm cách này nha 

Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1) 
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy ) 
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c 
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm) 
bạn tự tìm dấu '=' nha

p/s : kham khảo

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

<=>\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)

<=>\(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

<=>\(1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)

nhân (1) với (2) ta đc

\(\left(b+c\right)^2\ge16abc.\left(b+c\right)\)

<=>\(b+c\ge16abc\) (đpcm)

\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si dạng $(x+y)^2\geq 4xy$ và kết hợp với điều kiện $a+b+c=1$ ta có:

\(b+c=(b+c)(a+b+c)^2\geq (b+c).4a(b+c)=4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \((a,b,c)=(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{4})\), hoặc $(a,b,c)=(1,0,0)$