Ta thử nha :)) Có gì sai thì chỉ bảo nhé :

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca-3a^2+6ab-3b^2\ge\right)0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+4c\left(c-b-a\right)\right]\ge0\) ( luôn đúng với a,b,c > 0 ?? )

Vậy ta có điều phải chứng minh ?

Xin phép làm lại nha :))

Ta có BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ca-4bc-3a^2-3b^2+6ab\ge\right)0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh .

CMR:a³+b³+c³\(\ge\)3abc với a,b,c>0

+)Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si của ba số nguyên dương ta có:

a³+b³+c³\(\ge\)\(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)

Mà \(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)=3abc

=>a³+b³+c³\(\ge\)3abc

Bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c(ĐPCM)

Chúc bn học tốt

C1 : Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương \(a^3,b^3,c^3\) ta được :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

C2 : ta xét hiệu : \(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) (1)

Ta thấy \(\left(1\right)\ge0\) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng với a,b,c >0)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh, nếu bạn không hiểu chỗ nào thì nhắn tin nhắn riêng hỏi mk nhé, bài mk cam kết 100% đúng)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c .

Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Đpcm

câu a ) chuyển vế => đpcm

câu b) nhân 2 vế vs 2 rồi chuyển vế => đpcm

câu c) chuyển vế pt đa thức thành nhân tử ( cái này lớp 8 đã pt rồi)=> đpcm

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Xảy ra khi \(a=b\)

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

==" s t nhớ là bất đẳng thức cosi dùng cho số dương nhỉ ?

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>\(a^2+b^2\ge2ab\)

b) Ta có\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(1)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)(2)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\)(3)

Cộng vế với vế ba đẳng thức (1),(2),(3) ta đc

\(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac\ge0\)

<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

<=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

 Nguyễn Việt Lâm  Thầy giúp em được không ạ