Đề đúng là: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\). Bạn tự vẽ hình nhé.

(a) Theo đề: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow AC=\dfrac{5}{3}AH\)

Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+\left(\dfrac{5}{3}AH\right)^2\Rightarrow BC=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

Lại có: \(AB^2=BC.HB\Leftrightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\)

Ta cũng có: \(AH^2=HB.HC=HB\left(BC-HB\right)=BC.HB-HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\cdot\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}-\left(\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\right)^2\)

\(=15^2-\dfrac{15^4}{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Thay vào tính được: \(HB=9\left(cm\right);BC=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16\left(cm\right)\)

(b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H:BE.AB=HB^2\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Tương tự, \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:CF.AC=HC^2\Leftrightarrow CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(BC.BE.CF=\left(\dfrac{AB.AC}{AH}\right)\cdot\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(=\dfrac{HB^2.HC^2}{AH}=\dfrac{\left(HB.HC\right)^2}{AH}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH}=AH^3\left(đpcm\right)\)

Câu a) chắc bạn biết làm nhỉ

a) tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=15^2-12^2=81\Rightarrow AB=9\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.9}{15}=\dfrac{36}{5}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{27}{5}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{48}{5}\left(cm\right)\)

b) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

tam giác AHC vuông tại HA có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)

c) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH=EF\)

tam giác EHF vuông tại H nên áp dụng Py-ta-go

\(\Rightarrow HE^2+HF^2=EF^2=AH^2\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC\Rightarrow HE^2+HF^2=HB.HC\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có EH là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được: 

\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC=3/5

=>cos C=căn 1-(3/5)^2=4/5

=>AC/BC=4/5

=>BC=20(cm)

\(AB=\sqrt{20^2-16^2}=12\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên CH*CB=CA^2

=>CH*20=16^2=256

=>CH=12,8(cm)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

=>AM/AC=AN/AB

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

AM/AC=AN/AB

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

hay BC=10cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=4.8\left(cm\right)\\BH=3.6\left(cm\right)\\CH=6.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔABH vuông tại A có HD là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(AE\cdot AC=AD\cdot AB\)

hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

Xét ΔAED vuông tại A và ΔABC vuông tại A có 

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

Do đó: ΔAED\(\sim\)ΔABC

bạn nào biết trả lời nhanh nha. mình đang cần gấp . cảm ơn

  

A. Ta có \(\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{5}{3}AH\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(AB^2=BC^2-AC^2=\frac{AB^2AC^2}{AH^2}-AC^2\Rightarrow15^2=\frac{15^2.\frac{25}{9}AH^2}{AH^2}-AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=400\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=9\left(cm\right);HC=BC-BH=25-9=16\left(cm\right)\)

b.Vì E;F là hình chiếu của H lên AB;AC \(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{A}=90^0\Rightarrow AEHF\)là hình chữ nhật

c. Gỉa sử \(AM⊥EF\)\(\Rightarrow\)ta phải chứng minh M là trung điểm BC

Gọi I là giao điểm của EF và AH ;   N là giao của EF và AM

Xét tam giác AIN và tam giác AHM 

có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}chung\\\widehat{N}=\widehat{H}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta AIN~\Delta AHM\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{AIN}=\widehat{AMH}\left(1\right)}\)

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=90^0chung\\\widehat{C}=\widehat{E}\left(+\widehat{B}=90^0\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AEF~\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{B}\left(2\right)}\)

Vì AEHF là hình chữ nhật nên \(\widehat{IFA}=\widehat{IAF}\left(3\right)\)

Lại có \(\widehat{AIF}=180^0-2.\widehat{IFA}\)

Từ (1) ;(2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{AMB}=180^0-2.\widehat{B}\Rightarrow\Delta AMB\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)

Tương tự chứng minh được \(MA=MC\)\(\Rightarrow M\)là trung điểm BC

Vậy trung tuyến AM vuông góc với EF

d. Gỉa sử tam giác ABC vuông cân \(\Leftrightarrow AB=AC\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AB^2\left(4\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông cân \(\Leftrightarrow AE=AF\Rightarrow S_{AEHF}=AE.AF=AE^2=\frac{1}{4}AB^2\Rightarrow2S_{AEHF}=\frac{1}{2}AB^2\left(5\right)\)

Từ (4) và (5) ta có \(S_{ABC}=2S_{AEHF}\)đúng với giả thiết ban đầu 

Vậy giả sử \(S_{ABC}=2S_{AEHF}\)thì tam giác ABC vuông cân  

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại B có 

\(AB^2+BC^2=AC^2\)

hay BC=20(cm)

Xét ΔABC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AH\cdot AC\\BC^2=CH\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=9\left(cm\right)\\CH=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)