Chứng minh phân số : \(\dfrac{n+1}{2n+3}\)tối giản
a, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \(\dfrac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản
b, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, b thì \(\dfrac{7a+5b}{9a+4b}\) là phân số tối giản
a/
Gọi $d=ƯCLN(n+1, 2n+3)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; 2n+3\vdots d$
$\Rightarrow 2n+3-2(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$
Vậy $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$
b/
Cho $a=2, b=2$ thì phân số đã cho bằng $\frac{24}{26}$ không là phân số tối giản bạn nhé.
Bạn xem lại đề.
chứng minh các phân số sau là tối giản( nϵN)
a)\(\dfrac{n+1}{2n+3}\) b) \(\dfrac{2n+3}{4n+8}\)
Chứng minh rằng các phân số sau tối giản
a) \(\dfrac{2n+7}{2n+3}\) (n ∈ N)
b)\(\dfrac{6n+5}{8n+7}\)(n ∈ N)
c)\(\dfrac{2^{2024}+3}{2^{2023}+1}\) tối giản
a: Gọi d=ƯCLN(2n+7;2n+3)
=>2n+7 chia hết cho d và 2n+3 chia hết cho d
=>2n+7-2n-3 chia hết cho d
=>4 chia hết cho d
mà 2n+7 lẻ
nên d=1
=>PSTG
b: Gọi d=ƯCLN(6n+5;8n+7)
=>4(6n+5)-3(8n+7) chia hết cho d
=>-1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
Bài 15: Chứng minh rằng các phân số sau là tối giản(n∈ N*)
a) \(\dfrac{n+1}{2n+3}\) . b) \(\dfrac{2n+3}{4n+8}\) .
c) \(\dfrac{3n+1}{4n+1}\) .
Lời giải:
a/
Gọi ƯCLN(n+1, 2n+3)=d$
Khi đó:
$n+1\vdots d\Rightarrow 2n+2\vdots d(1)$
$2n+3\vdots d(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n+3)-(2n+1)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$
Vậy $n+1, 2n+3$ nguyên tố cùng nhau nên phân số đã cho tối giản.
Câu b,c làm tương tự.
18. Chứng minh rằng các phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) \(\dfrac{n+1}{2n+3}\)
b) \(\dfrac{2n+3}{4n+8}\)
c) \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\)
Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*)
\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)
Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)
\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)
Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Mà 2n+3 là số lẻ nên
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
18. Chứng minh rằng các phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n:
\(\dfrac{ n+1}{2n+3 }\) ý a
\(\dfrac{ 2n+3}{4n+8 }\)ý b
\(\dfrac{ 3n+2}{ 5n+3}\) ý c
Gọi Ư( n+1; 2 n+3 ) = d ( d∈N* )
n +1 = 2n + 2 (1) ; 2n+3*) (2)
Lấy (2 ) - (1) ta được : 2n + 3 - 2n + 2 = 1:d => d =1
vậy ta có đpcm
gọi Ư ( 3n + 2 ; 5n + 3 ) = d ( d∈N* )
3n +2 = 15 n + 10 (1) ; 5n + 3 =15n + 9 (2)
lấy (!) - (2) ta được 15n + 10 - 15n - 9 = 1:d => d = 1
Vậy ta có đpcm
Chứng minh những phân số sau là tối giản
\(G=\dfrac{2n+3}{4n+1}\) \(H=\dfrac{3n+2}{7n+1}\)
\(I=\dfrac{n+7}{n+2}\)
c: nếu n=3 thì đây ko phải phân số tối giản nha bạn
b: Nếu n=3 thì đây cũng ko phải phân số tối giản nha bạn
a: Nếu n=1 thì đây cũng ko phải phân số tối giản nha bạn
Chứng minh phân số tối giản
\(A=\dfrac{2n+3}{n^2+3n+2}\)
Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;n^2+3n+2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(n^2+3n+2\right)-n\left(2n^2+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3n+4⋮d\)
\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)-2\left(3n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy \(2n+3\) và \(n^2+3n+2\) nguyên tố cùng nhau
Chứng minh với các phân số sau tối giản với mọi nϵz
\(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}\)
Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n^2+2n\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên