Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \(\left(x,y,z\right)\) thỏa mãn
\(2\left(x+y+z+2xyz\right)^2=\left(2xy+2yz+2zx+1\right)^2+2023\)
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x;y;z>.CMR:\(\left(x^2+2yz\right)\left(y^2+2zx\right)\left(z^2+2xy\right)\ge xyz\left(x+2y\right)\left(y+2z\right)\left(z+2x\right)\)
Cho x,y,z đoio một khác nhau thỏa mãn x+y+z=0
Tính \(P=\dfrac{2022\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}\)
cho x,y,z ≠0 và đôi một khác nhau thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). . CMR: \(\left(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\right)\left(x^{2016}+y^{2017}+z^{2018}\right)=xy+yz+zx\)
Cho \(a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}=x\)
\(Tính\) \(P=\dfrac{2022\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}\)
Tìm tất cả các số thực dương x,y,z thỏa mãn :
\(\left(1+\dfrac{x}{y+z}\right)^2+\left(1+\dfrac{y}{x+z}\right)^2+\left(1+\dfrac{z}{x+y}\right)^2=\dfrac{27}{4}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\text{VT}(1^2+1^2+1^2)\geq (1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y})^2$
$\Leftrightarrow 3\text{VT}\geq (3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})^2$
$ = \left[3+\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zy+zx}\right]^2$
$\geq \left[3+\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\right]^2$
$\geq \left[3+\frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}\right]^2=\frac{81}{4}$
$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{27}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z>0$
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn :
\(\hept{\begin{cases}\left(xy+1\right)⋮z\\\left(xz+1\right)⋮\\\left(yz+1\right)⋮x\end{cases}y}\)
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
cho 3 số x,y,z đôi một khác nhau và x+y+z=0 Tính\(P=\dfrac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}\)
Ta có \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=-z^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Đặt \(A=2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz=2xy^2+2yz^2+2zx^2+x^3+y^3+z^3\)
\(=x^2\left(2z+x\right)+y^2\left(2x+y\right)+z^2\left(2y+z\right)\)
Do \(x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2z+x=z-y\\2x+y=x-z\\2y+z=y-x\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A=x^2\left(z-y\right)+y^2\left(x-z\right)+z^2\left(y-x\right)\)
\(=x^2\left(z-y\right)-y^2\left(z-y+y-x\right)+z^2\left(y-x\right)\)
\(=\left(x^2-y^2\right)\left(z-y\right)-\left(z^2-y^2\right)\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(x+y-z-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{A}=2018\)
\(\Rightarrow P=2018\)
Vậy \(P=2018\)
Tìm bộ ba số nguyên \(\left(x,y,z\right)\) thỏa mãn \(x-y-z+3=0\) và \(x^2-y^2-z^2=1\)
Tham khảo :
Câu hỏi của Cô Gái Mùa Đông - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM
Cmr
a) \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1\)
b)\(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4\)
c) \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
d) \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Câu a :
\(VT=\) \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1^3=VP\)
Câu b :
\(VT=\)\(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4=VP\)
Tương tự bạn khai triển là ra nhé
a) \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)
=\(x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1\)
\(\RightarrowĐPCM\)
b)\(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)\)
\(=x^4-x^3y+x^3y-x^2y^2+x^2y^2-xy^3+xy^3-y^4=x^4-y^4\)
c)(x+y+z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + z2
= x2+ 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz