Ace Legona giúp vs ạ bài 1 thui cx đc

M-N=x-y+z+2-x-3=z-y-1=1

=>z-y=2

=>M=x+z-y+2=x+2+2=x+4

=>M;N là 2 số nguyên liên tiếp

=>đpcm

Very easy!!!

Giả sử tồn tại 3 số x,y,z >0 thõa mãn đề bài.

Ta có: x + y = 1 => x = 1 - y

z + x = 2 => z + 1 - y = 2 => z - y = 1 (1)

Mà y + z = 3 (2)

Từ (1); (2) => z = 2 ; y = 1

=> x = 1-1= 0 => Loại (vì x >0)

=> Không tồn tại 3 số x,y,z > 0 thõa mãn đề bài

Em thử nhá! Em nhớ là em có làm đâu đó rồi mà ta???Nhưng ko chắc đâu...

Theo nguyên lí Dirichlet,tồn tại hai trong ba số x - 1; y - 1; z- 1 mà tích chúng không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy\ge x+y-1\)

\(\Rightarrow xyz\ge xz+yz-z\). Suy ra:

\(VT\ge x^2+y^2+xz+yz+z^2-z\)

\(=x^2+y^2+z\left(x+y+z\right)-z\)

\(=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+3z-z-2\)

\(\ge2\left(x+y+z\right)-2=2.3-2=6-2=4^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Cách khác:

Theo BĐT Schur bậc 3:

\(xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)=(3-2x)(3-2y)(3-2z)\)

\(\Leftrightarrow xyz\geq (9-6y-6x+4xy)(3-2z)\)

\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 27-18(x+y+z)+12(xy+yz+xz)=-27+12(xy+yz+xz)\)

\(\Rightarrow xyz\geq -3+\frac{4}{3}(xy+yz+xz)\)

Do đó:

\(x^2+y^2+z^2+xyz\geq x^2+y^2+z^2-3+\frac{4}{3}(xy+yz+xz)\)

\(=\frac{2}{3}(x+y+z)^2+\frac{x^2+y^2+z^2}{3}-3\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{9}-3=4\)

(theo BĐT AM-GM)

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$