Biết rằng phương trình: \(x^2+px+1=0\)có hai nghiệm là a,b và phương trình \(x^2+qx+2=0\)có hai nghiệm là b,c. Hãy tính giá trị của biểu thức \(A=p.q-\left(b-a\right).\left(b-c\right)\)
biết rằng phương trình \(x^2+px+1=0\) có nghiệm là a,b và phương trình \(x^2+qx+2=0\) có nghiêm là b,c . Khi đó giá trị của biểu thức \(A=pq-\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)bằng ?
Áp dụng viet vào pt \(x^2+px+1=0\) ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-p\\ab=1\end{matrix}\right.\)
Áp dụng viet vào pt \(x^2+qx+2=0\) ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}b+c=-q\\bc=2\end{matrix}\right.\)
\(A=pq-\left(b-a\right)\left(b-c\right)=-\left(a+b\right).-\left(b+c\right)-\left(b^2-bc-ab+ac\right)\)
\(=ab+ac+b^2+bc-b^2+bc+ab-ac\)
\(=2ab+2bc=6\)
Phương trình: \(x^2+px+1=0\)
Có 2 nghiệm:a,b
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-p\\a.b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=-\left(a+b\right)\\1=a.b\end{matrix}\right.\)
Phương trình \(x^2+px+2=0\)
Có 2 nghiệm:b,c
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=-q\\b.c=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=-\left(b+c\right)\\2=b.c\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(p.q-\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(=-\left(a+b\right).\left[-\left(b+c\right)\right]-\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)-\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(=ab+ac+b^2+bc-b^2+bc+ab-ac\)
=\(\left(ab+ab\right)+\left(ac-ac\right)+\left(b^2-b^2\right)+\left(bc+bc\right)\)
\(=2ab+2bc\)
\(=2.1+2.2\)
=6
-Chúc bạn học tốt-
Giải chi tiết hộ mk
a)Cho hai phương trình \(x^2+2mx+mn-1=0\) và \(x^2-2nx+m+n=0\) (m,n là tham số)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m và n ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
b)Gọi a và b là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+px+1=0\)
c và d là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+qx+1=0\)
chứng minh hệ thức \(\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)=\left(p-q\right)^2\)
b/ \(\hept{\begin{cases}x^2+px+1=0\\x^2+qx+1=0\end{cases}}\)
Theo vi et ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=-p\\ab=1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}c+d=-q\\cd=1\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\)
\(=\left(c^2-c\left(a+b\right)+ab\right)\left(d^2-d\left(a+b\right)+ab\right)\)
\(=\left(c^2+cp+1\right)\left(d^2+dp+1\right)\)
\(=cdp^2+pcd\left(c+d\right)+p\left(c+d\right)+c^2d^2+\left(c+d\right)^2-2cd+1\)
\(=p^2-pq-pq+1+q^2-2+1\)
\(=p^2-2pq+q^2=\left(p-q\right)^2\)
a/ \(\hept{\begin{cases}x^2+2mx+mn-1=0\left(1\right)\\x^2-2nx+m+n=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(\Delta'_1+\Delta'_2=\left(m^2-mn+1\right)+\left(n^2-m-n\right)\)
\(=m^2+n^2-mn-m-n+1\)
\(=\left(\frac{m^2}{2}-mn+\frac{n^2}{2}\right)+\left(\frac{m^2}{2}-m+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{n^2}{2}-n+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\left(m-n\right)^2+\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\right)\ge0\)
Vậy có 1 trong 2 phương trình có nghiệm
Phương trình \(x^2+px+1=0\) có hai nghiệm a và b
Phương trình\(x^2+qx+2=0\) có hai nghiệm b và c
Tìm \(A=pq-\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)-\left[b^2-bc-ab+ac\right]\)
\(A=ab+ac+b^2+bc-b^2+bc+ab-ac\)
\(A=2ab+2bc=2+2.2=6\)
à nhầm thay gx ở phương trình (2) là qx nhá
1) Cho phương trình 5x^2+3x-1=0 có hai nghiệm x1,x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A=\(\left(3x_1+2x_2\right)\left(3x_2+x_1\right)\)
2) Cho phương trình 7x^2-2x-3=0 có hai nghiệm là x1,x2 tính giá trị của biểu thức
M=\(\dfrac{7x_1^2-2x_1}{3}+\dfrac{3}{7x_2^2-2x_2}\)
`1)` Ptr có: `\Delta=3^2-4.5.(-1)=29 > 0 =>`Ptr có `2` nghiệm phân biệt
`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=-3/5),(x_1.x_2=c/a=-1/5):}`
Có: `A=(3x_1+2x_2)(3x_2+x_1)`
`A=9x_1x_2+3x_1 ^2+6x_2 ^2+2x_1x_2`
`A=8x_1x_2+3(x_1+x_2)^2=8.(-1/5)+3.(-3/5)^2=-13/25`
Vậy `A=-13/25`
____________________________________________________
`2)` Ptr có: `\Delta'=(-1)^2-7.(-3)=22 > 0=>` Ptr có `2` nghiệm pb
`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2/7),(x_1.x_2=c/a=-3/7):}`
Có: `M=[7x_1 ^2-2x_1]/3+3/[7x_2 ^2-2x_2]`
`M=[(7x_1 ^2-2x_1)(7x_2 ^2-2x_2)+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`
`M=[49(x_1x_2)^2-14x_1 ^2 x_2-14x_1 x_2 ^2+4x_1x_2+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`
`M=[49.(-3/7)^2-14.(-3/7)(2/7)+4.(-3/7)+9]/[3x_2(7x_2-2)]`
`M=6/[x_2(7x_2-2)]` `(1)`
Có: `x_1+x_2=2/7=>x_1=2/7-x_2`
Thay vào `x_1.x_2=-3/7 =>(2/7-x_2)x_2=-3/7`
`<=>-x_2 ^2+2/7 x_2+3/7=0<=>x_2=[1+-\sqrt{22}]/7`
`@x_2=[1+\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1+\sqrt{22}]/7(7 .[1+\sqrt{22}]/2-2)]=2`
`@x_2=[1-\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1-\sqrt{22}]/7(7 .[1-\sqrt{22}]/2-2)]=2`
Vậy `M=2`
Giả sử a,b là nghiệm của phương trình \(x^2+px+1=0\) và c,d là nghiệm của phương trình \(x^2+qx+1=0\). Hãy chứng minh hệ thức
\(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+d\right)\left(b+d\right)=q^2-p^2\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
(1) a+b=-p và ab=1
(2) c+d=-q và cd=1
Biến đổi vế trái VT= [(a-c)(b+d)][(b-c)(a+d)]=(ab+ad-bc-cd)(ab-cd-ac+bd)=(ad-bc)(bd-ac)=abd2-a2cd-b2cd+c2ab=d2-a2-b2+c2
mà q2-p2=(c+d)2-(a+b)2=c2+d2+2cd-a2-b2-2ab=d2-a2-b2+c2
Nên VT=VP
giúp em câu b với
Cho phương trình \(mx^2+\left(2m-2\right)x+m-1=0\) ,(1) ( với m là tham số )
a) Định m để phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi 1 2 x x; là hai nghiệm của phương trình ( 1 ). Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(Q=\dfrac{1013}{x_1}+\dfrac{1013}{x_2}+1\) luôn là hằng số.
b) Theo hệ thức Vi ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{2m-2}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2-2m}{m}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(Q=\dfrac{1013}{x_1}+\dfrac{1013}{x_2}+1=1013\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)+1\)
\(=1013\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)+1=1013\left(\dfrac{\dfrac{2-2m}{m}}{\dfrac{m-1}{m}}\right)+1\)
\(=1013.\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-1}+1=-2026+1=-2025\), luôn là hằng số (đpcm)
Biết rằng phương trình \(x^2+px+1\) có 2 nghiệm là a,b và phương trình \(x^2+qx+2\) có 2 nghiệm là b,c. Tính giá trị của biểu thức A = pq - (b-a) (b-c)
cho phương trình \(x^2-4mx+9\left(m-1\right)^2=0\) giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm x1,x2 và biểu thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập đối với tham số m có dạng là \(\left(x1+x2+a\right)^2=bx1x2\) .giá trị b/a là
Theo định lí Viet thì \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m\\x_1.x_2=\left(3m-3\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\dfrac{16}{9}.\left(3m-3\right)^2\)
⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left[\dfrac{4}{3}.\left(3m-3\right)\right]^2\)
⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left(4m-4\right)^2\)
⇒ \(\dfrac{16}{9}.x_1.x_2=\left(x_1+x_2-4\right)^2\)
Đối chiếu ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=\dfrac{16}{9}\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{-4}{9}\)
Cho phương trình \(x^2-4x-6=0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức sau (\(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình):
\(A=x^2_1+x^2_2;\)
\(B=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)
\(C=x^3_1+x^3_2\)
\(D=\left|x_1-x_2\right|\)
\(x^2-4x-6=0\)
\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)=16+24=40>0\)
=>Phương trình này có hai nghiệm phân biệt
Theo vi-et, ta có:
\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{1}=-6\)
\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=4^2-2\cdot\left(-6\right)=16+12=28\)
\(B=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{4}{-6}=-\dfrac{2}{3}\)
\(C=x_1^3+x_2^3\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3\cdot x_1\cdot x_2\cdot\left(x_1+x_2\right)\)
\(=4^3-3\cdot4\cdot\left(-6\right)=64+72=136\)
\(D=\left|x_1-x_2\right|\)
\(=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{4^2-4\cdot\left(-6\right)}=\sqrt{16+24}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)